Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = \sqrt{\operatorname{arctg}(x)}.
Para isso vamos usar a regra da cadeia, junto com a derivada de \sqrt{u} e a derivada de \operatorname{arctg}(x).

Passo 2

Seja u = \operatorname{arctg}(x). Então podemos escrever
f(x) = \sqrt{u} = u^{1/2}.
A derivada de u^{1/2} em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr) = \frac12\,u^{-1/2} = \frac1{2\sqrt{u}}.
E a derivada de u = \operatorname{arctg}(x) em relação a x é
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arctg}(x)\bigr) = \frac1{1+x^2}.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)\Big|_{u=\operatorname{arctg}(x)} \cdot \frac{du}{dx} = \frac1{2\sqrt{\operatorname{arctg}(x)}}\;\cdot\;\frac1{1+x^2}.

Resposta

f'(x) = \frac1{2\,(1+x^2)\,\sqrt{\operatorname{arctg}(x)}}.

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