Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função dada usando a regra da cadeia. A função fornecida é
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+1}}.
Informações relevantes: a função pode ser reescrita em potência negativa como \;f(x)=(x^{2}+4x+1)^{-1/2}. Não há outras restrições explícitas além da expressão algébrica.

Passo 2

Reescrevo a função numa forma que facilita aplicar a regra da cadeia:
f(x) = (x^{2}+4x+1)^{-1/2}.
Explicando por que isso ajuda: a regra da cadeia funciona bem quando temos uma função externa (aqui a potência \;(\cdot)^{-1/2}) aplicada a uma função interna (aqui o polinômio \;x^{2}+4x+1). Vou identificar essas duas partes claramente no passo seguinte.

Passo 3

Defino as partes interna e externa para aplicar a regra da cadeia:
u(x) = x^{2}+4x+1 \quad\text{(função interna)}çã
y = f(x) = u(x)^{-1/2} \quad\text{(função externa: potência de expoente } -\tfrac{1}{2}\text{)}çãê
Agora a regra da cadeia (forma que vou usar) diz: se y = (u(x))^{n}, então
\frac{dy}{dx} = n\,(u(x))^{n-1}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Vou explicar rapidamente cada termo: n é o expoente da função externa; (u(x))^{n-1} é a função externa derivada (usando a regra do poder); e \dfrac{du}{dx} é a derivada da função interna — a multiplicação aparece porque a derivada da composição exige multiplicar pela derivada da parte interna.

Passo 4

Calculo a derivada da função interna \;u(x)=x^{2}+4x+1.
Aplicando regras básicas (derivada de x^{2} é 2x; derivada de 4x é 4; derivada de constante é 0):
\frac{du}{dx}=2x+4.

Passo 5

Aplico a regra da cadeia com n=-\tfrac{1}{2}:
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{2}\, (u(x))^{-1/2-1}\cdot (2x+4).
Simplificando o expoente: -\tfrac{1}{2}-1 = -\tfrac{3}{2}. Substituindo u(x)=x^{2}+4x+1,
\frac{dy}{dx} = -\tfrac{1}{2}\,(x^{2}+4x+1)^{-3/2}\,(2x+4).

Passo 6

Faço a simplificação algébrica final. Coloco o fator (2x+4) em evidência:
-\tfrac{1}{2}(2x+4) = -\tfrac{1}{2}\cdot 2(x+2) = -(x+2).
Logo
\frac{dy}{dx} = -(x+2)\,(x^{2}+4x+1)^{-3/2}.
Reescrevendo em forma de fração com raíz no denominador:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x+2}{(x^{2}+4x+1)^{3/2}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{x+2}{(x^{2}+4x+1)^{3/2}}

Exercícios relacionados