Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
f(x)=\left(x^{2}+3\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função
f(x)=\left(x^{2}+3\right)^{4}.
Informações dadas:
\;f é uma função de x definida por \left(x^{2}+3\right)^{4}.
A tarefa é encontrar \dfrac{df}{dx} (ou \dfrac{dy}{dx}) — ou seja, a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagarinho, sem pressa):
Quando uma função é composta — isto é, quando uma função depende de outra — usamos a chamada regra da cadeia. Escrevendo isso de forma geral:
\text{se }y=g(h(x))\text{, então }\dfrac{dy}{dx}=g'(h(x))\cdot h'(x).ã
O que cada coisa significa:
  • x é a variável independente.
  • h(x) é a função interna (o “valor dentro”).
  • g(u) é a função externa, com u=h(x).
  • g'(u) é a derivada de g em relação a u.
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x.
    Intuição rápida: primeiro vemos como a função externa muda quando a interna muda (isso é g'), depois multiplicamos por quanto a interna muda quando x muda (isso é h'). É como encadear duas velocidades: velocidade externa × velocidade interna.

Passo 3

Vamos identificar função externa e interna no nosso caso.
Colocamos a parte interna como
u = x^{2}+3,
e a função externa como
y = u^{4}.
Aqui u depende de x e y depende de u. No final queremos \dfrac{dy}{dx}.

Passo 4

Calcular \dfrac{du}{dx}. Usamos a regra do expoente (power rule): se \varphi(x)=x^{n}, então \varphi'(x)=n x^{n-1}.
Aplicando a \;u=x^{2}+3\;:
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de 3 (constante) é 0.
    Logo
\dfrac{du}{dx}=2x.

Passo 5

Calcular \dfrac{dy}{du}. Aplicamos a regra do expoente à função externa y=u^{4}:
pela regra do expoente,
\dfrac{dy}{du}=4u^{3}.
Aqui interpretamos u como a variável da função externa.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia: multiplicamos \dfrac{dy}{du} por \dfrac{du}{dx}.
\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=4u^{3}\cdot 2x.
Simplificando os coeficientes:
\dfrac{dy}{dx}=8x\,u^{3}.
Agora voltamos à variável x substituindo u=x^{2}+3:
\dfrac{dy}{dx}=8x\left(x^{2}+3\right)^{3}.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo mental para fixar: se tivéssemos \left(3x+2\right)^{5}, a mesma ideia daria 5(3x+2)^{4}\cdot 3 = 15(3x+2)^{4}. A estrutura é idêntica: exponencial externo vezes derivada da parte interna.

Resposta

\,f'(x)=8x\left(x^{2}+3\right)^{3}

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