Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
Informações dadas:
é uma função de
definida por
.
A tarefa é encontrar (ou
) — ou seja, a taxa de variação de
em relação a
.
A tarefa é encontrar
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagarinho, sem pressa):
Quando uma função é composta — isto é, quando uma função depende de outra — usamos a chamada regra da cadeia. Escrevendo isso de forma geral:
Quando uma função é composta — isto é, quando uma função depende de outra — usamos a chamada regra da cadeia. Escrevendo isso de forma geral:
O que cada coisa significa:
-
é a variável independente. -
é a função interna (o “valor dentro”). -
é a função externa, com . -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
Intuição rápida: primeiro vemos como a função externa muda quando a interna muda (isso é), depois multiplicamos por quanto a interna muda quando muda (isso é ). É como encadear duas velocidades: velocidade externa × velocidade interna.
Passo 3
Vamos identificar função externa e interna no nosso caso.
Colocamos a parte interna como
Colocamos a parte interna como
e a função externa como
Aqui
depende de
e
depende de
. No final queremos
.
Passo 4
Calcular
. Usamos a regra do expoente (power rule): se
, então
.
Aplicando a :
Aplicando a
- Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Logo
Passo 5
Calcular
. Aplicamos a regra do expoente à função externa
:
pela regra do expoente,
pela regra do expoente,
Aqui interpretamos
como a variável da função externa.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia: multiplicamos
por
.
Simplificando os coeficientes:
Agora voltamos à variável
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida com um exemplo mental para fixar: se tivéssemos
, a mesma ideia daria
. A estrutura é idêntica: exponencial externo vezes derivada da parte interna.