Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
Passo 1
O enunciado pede para calcular
(a derivada em relação a
) da função
Informações dadas que vamos usar:
- A função é composta: dentro da raiz está o polinômio
. - A raiz de quarta ordem pode ser escrita como potência com expoente
.
Nada mais será assumido — vamos transformar e derivar passo a passo usando regra da cadeia.
Passo 2
Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação:
Isso é útil porque conhecemos a regra para derivar potências de funções.
Passo 3
Explicação da regra que vamos usar (cadeia + potência), de forma bem clara:
- Se tivermos uma composição
, a regra da cadeia diz
Aqui
é a função interna e
é a função externa; a derivada de
é avaliada em
e multiplicada pela derivada de
.
- Aplicando ao caso de uma potência: se
, então pela combinação da regra da potência com a cadeia:
Explicando os símbolos:
-
é a função interna (depende de ); -
é um número real (o expoente); -
é a derivada da função interna em relação a .
Passo 4
Identificamos função interna e externa no nosso problema:
- Função interna:
. - Função externa:
.
Agora calculamos
. Derivando termo a termo:
-
(regra: , e constante multiplicativa sai); -
(derivada de é ); -
(constante).
Logo
Passo 5
Derivamos a função externa
. Pela regra da potência:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Fazendo uma simplificação comum (colocando a potência negativa no denominador) obtemos a forma mais limpa: