Calcule as derivadas das funções utilizando a regra da cadeia “(dy/dx)”
f(x)=\sqrt[4]{2 x^{3}-5 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada em relação a x) da função
f(x)=\sqrt[4]{2 x^{3}-5 x+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A função é composta: dentro da raiz está o polinômio 2x^{3}-5x+1.
  • A raiz de quarta ordem pode ser escrita como potência com expoente \tfrac{1}{4}.
    Nada mais será assumido — vamos transformar e derivar passo a passo usando regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos a função numa forma que facilita aplicar regras de derivação:
f(x) = \bigl(2x^{3}-5x+1\bigr)^{\tfrac{1}{4}}.
Isso é útil porque conhecemos a regra para derivar potências de funções.

Passo 3

Explicação da regra que vamos usar (cadeia + potência), de forma bem clara:
  • Se tivermos uma composição y = h(u(x)), a regra da cadeia diz
\frac{dy}{dx} = h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x) é a função interna e h(u) é a função externa; a derivada de h é avaliada em u(x) e multiplicada pela derivada de u.
  • Aplicando ao caso de uma potência: se y = \bigl(u(x)\bigr)^{n}, então pela combinação da regra da potência com a cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr) = n\;u(x)^{\,n-1}\;u'(x).
Explicando os símbolos:
  • u(x) é a função interna (depende de x);
  • n é um número real (o expoente);
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.

Passo 4

Identificamos função interna e externa no nosso problema:
  • Função interna: u(x)=2x^{3}-5x+1.
  • Função externa: h(u)=u^{\tfrac{1}{4}}.
Agora calculamos u'(x). Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(2x^{3}\bigr)=2\cdot 3x^{2}=6x^{2} (regra: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e constante multiplicativa sai);
  • \dfrac{d}{dx}\bigl(-5x\bigr)=-5 (derivada de ax é a);
  • \dfrac{d}{dx}(1)=0 (constante).
    Logo
u'(x)=6x^{2}-5.

Passo 5

Derivamos a função externa h(u)=u^{\tfrac{1}{4}}. Pela regra da potência:
h'(u)=\tfrac{1}{4}u^{-\tfrac{3}{4}}.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=h'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =\tfrac{1}{4}\bigl(2x^{3}-5x+1\bigr)^{-\tfrac{3}{4}}\cdot(6x^{2}-5).
Fazendo uma simplificação comum (colocando a potência negativa no denominador) obtemos a forma mais limpa:
f'(x)=\frac{6x^{2}-5}{4\bigl(2x^{3}-5x+1\bigr)^{\tfrac{3}{4}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{6x^{2}-5}{4\bigl(2x^{3}-5x+1\bigr)^{\tfrac{3}{4}}}

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