Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a diferença de duas exponenciais com bases diferentes e o expoente pode ser positivo (
) ou negativo (
).
O que se precisa encontrar: a derivada (ou
) da função dada.
Informações dadas: a função
O que se precisa encontrar: a derivada
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): para derivar funções exponenciais com base qualquer, a ideia prática é escrever a exponencial em termos da função exponencial natural
. Lembre que a função exponencial natural tem a propriedade
onde
é uma função de
. Isso é a regra da cadeia aplicada a
. Aqui
é a derivada de
em relação a
. Exemplo simples: se
, então
.
Passo 3
Transformação importante: para qualquer base positiva
(com
), temos
Explicando:
é o logaritmo natural de
. Essa igualdade é uma identidade básica que permite usar a regra do
. Usando isso e a regra da cadeia obtemos a fórmula prática
Aqui
é uma constante (não depende de
), então a derivada de
é o próprio
multiplicado por
. Exemplo:
. Observe também que, como
, recuperamos
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao primeiro termo
Explicando passo a passo: escrevemos
, derivamos
usando a regra da cadeia; a derivada de
é
(constante), resultando em
, que é
.
Passo 5
Agora derivamos o segundo termo
Aqui é preciso usar a regra da cadeia porque o expoente é
, uma função de
. Primeiro usamos a fórmula geral para
:
No nosso caso
e
. Então
. Portanto
Expliquei: derivamos como se fosse
e aplicamos a regra da cadeia; o fator adicional vindo de
é
.
Passo 6
Agora combinamos os resultados usando linearidade da derivada (a derivada da diferença é a diferença das derivadas). Temos
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Simplificando o sinal duplo (menos com menos vira mais):