Calcule as derivadas das funções:
y=2^{x}-3^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \;y=2^{x}-3^{-x}\;.
Informações dadas: a função y é a diferença de duas exponenciais com bases diferentes e o expoente pode ser positivo ( x) ou negativo ( -x).
O que se precisa encontrar: a derivada \dfrac{dy}{dx} (ou y') da função dada.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): para derivar funções exponenciais com base qualquer, a ideia prática é escrever a exponencial em termos da função exponencial natural e^{(\cdot)}. Lembre que a função exponencial natural tem a propriedade
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u(x) é uma função de x. Isso é a regra da cadeia aplicada a e^{u(x)}. Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. Exemplo simples: se u(x)=2x, então \dfrac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot 2.

Passo 3

Transformação importante: para qualquer base positiva a (com a>0), temos
a^{x}=e^{x\ln a}.
Explicando: \ln a é o logaritmo natural de a. Essa igualdade é uma identidade básica que permite usar a regra do e^{(\cdot)}. Usando isso e a regra da cadeia obtemos a fórmula prática
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Aqui \ln a é uma constante (não depende de x), então a derivada de a^{x} é o próprio a^{x} multiplicado por \ln a. Exemplo: \dfrac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5. Observe também que, como \ln e=1, recuperamos \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao primeiro termo \;2^{x}\;:
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Explicando passo a passo: escrevemos 2^{x}=e^{x\ln 2}, derivamos e^{x\ln 2} usando a regra da cadeia; a derivada de x\ln 2 é \ln 2 (constante), resultando em e^{x\ln 2}\cdot\ln 2, que é 2^{x}\ln 2.

Passo 5

Agora derivamos o segundo termo \;3^{-x}\;. Aqui é preciso usar a regra da cadeia porque o expoente é -x, uma função de x. Primeiro usamos a fórmula geral para a^{u(x)}:
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\ln a \cdot u'(x).
No nosso caso a=3 e u(x)=-x. Então u'(x)=\dfrac{d}{dx}(-x)=-1. Portanto
\frac{d}{dx}3^{-x}=3^{-x}\ln 3 \cdot (-1) = -3^{-x}\ln 3.
Expliquei: derivamos como se fosse e^{(-x)\ln 3} e aplicamos a regra da cadeia; o fator adicional vindo de u'(x) é -1.

Passo 6

Agora combinamos os resultados usando linearidade da derivada (a derivada da diferença é a diferença das derivadas). Temos
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(2^{x}\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(3^{-x}\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{dy}{dx}=2^{x}\ln 2 - \bigl(-3^{-x}\ln 3\bigr).
Simplificando o sinal duplo (menos com menos vira mais):
\frac{dy}{dx}=2^{x}\ln 2 + 3^{-x}\ln 3.

Resposta

\displaystyle y'=2^{x}\ln 2 + 3^{-x}\ln 3

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