Calcule as derivadas das funções:
y=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{3}.
Informações relevantes dadas:
\sqrt{x} significa \,x^{1/2} e \frac{1}{\sqrt{x}} significa \,x^{-1/2}. Logo a função está definida para x>0. A tarefa é achar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a regra da cadeia e a regra da potência. Vou explicar rapidamente as regras que vou aplicar:
Regra da potência (para função simples): se f(x)=x^{n} com n constante, então
f'(x)=n x^{n-1}.
Regra da cadeia: se y=(u(x))^{n}, onde u depende de x, então
\frac{dy}{dx}=n\,(u(x))^{n-1}\cdot \frac{du}{dx}.
Aqui podemos tomar u(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{1/2}+x^{-1/2} e n=3. Assim primeiro calculamos u'(x) e depois aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Calcular u(x) e derivar termo a termo. Defino
u(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}.
Agora aplico a regra da potência a cada termo. Para x^{1/2} temos
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Para x^{-1/2} temos
\frac{d}{dx}x^{-1/2}=-\frac{1}{2}x^{-3/2}.
Somando os dois resultados obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2}\left(x^{-1/2}-x^{-3/2}\right).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia com y=(u(x))^{3}. Pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=3\,(u(x))^{2}\cdot \frac{du}{dx}.
Substituo u(x) e u'(x) que já achei:
\frac{dy}{dx}=3\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^{2}\cdot \frac{1}{2}\left(x^{-1/2}-x^{-3/2}\right).

Passo 5

Simplifico o fator numérico 3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^{2}\left(x^{-1/2}-x^{-3/2}\right).

Passo 6

Agora vou simplificar a expressão algébrica. Primeiro expando \left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^{2}. Usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=x^{1/2} e b=x^{-1/2}:
\left(x^{1/2}+x^{-1/2}\right)^{2}=x + 2 + \frac{1}{x}.
Observação: x^{1/2}\cdot x^{-1/2}=x^{0}=1, por isso o termo 2ab virou 2.

Passo 7

Também simplifico \left(x^{-1/2}-x^{-3/2}\right). Coloco em evidência x^{-3/2} ou calculo como fração com denominador comum x^{3/2}:
x^{-1/2}-x^{-3/2}=\frac{1}{x^{1/2}}-\frac{1}{x^{3/2}}=\frac{x-1}{x^{3/2}}.
(Para ver isso: escreva \frac{1}{x^{1/2}}=\frac{x}{x^{3/2}} e então subtraia \frac{1}{x^{3/2}}.)

Passo 8

Substituo as simplificações na expressão de \frac{dy}{dx}. Tenho
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\left(x+2+\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{x-1}{x^{3/2}}.
Posso escrever x+2+\frac{1}{x}=\frac{x^{2}+2x+1}{x}=\frac{(x+1)^{2}}{x}. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\cdot \frac{(x+1)^{2}}{x}\cdot\frac{x-1}{x^{3/2}}.
Multiplico os denominadores: x\cdot x^{3/2}=x^{5/2}. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\cdot\frac{(x+1)^{2}(x-1)}{x^{5/2}}.

Passo 9

Apresento a forma final, mais limpa e adequada para x>0. Podemos deixar como
\frac{dy}{dx}=\frac{3\,(x-1)(x+1)^{2}}{2\,x^{5/2}}.
Também é possível reescrever x^{5/2}=x^{2}\sqrt{x} se preferir radicals no denominador:
\frac{dy}{dx}=\frac{3\,(x-1)(x+1)^{2}}{2\,x^{2}\sqrt{x}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3\,(x-1)(x+1)^{2}}{2\,x^{5/2}}

Exercícios relacionados