Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes dadas:
significa
e
significa
. Logo a função está definida para
. A tarefa é achar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): vamos usar a regra da cadeia e a regra da potência. Vou explicar rapidamente as regras que vou aplicar:
Regra da potência (para função simples): se com
constante, então
Regra da potência (para função simples): se
Regra da cadeia: se
, onde
depende de
, então
Aqui podemos tomar
e
. Assim primeiro calculamos
e depois aplicamos a regra da cadeia.
Passo 3
Calcular
e derivar termo a termo. Defino
Agora aplico a regra da potência a cada termo. Para
temos
Para
temos
Somando os dois resultados obtemos
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia com
. Pela regra da cadeia:
Substituo
e
que já achei:
Passo 5
Simplifico o fator numérico
. Assim
Passo 6
Agora vou simplificar a expressão algébrica. Primeiro expando
. Usando
com
e
:
Observação:
, por isso o termo
virou
.
Passo 7
Também simplifico
. Coloco em evidência
ou calculo como fração com denominador comum
:
(Para ver isso: escreva
e então subtraia
.)
Passo 8
Substituo as simplificações na expressão de
. Tenho
Posso escrever
. Substituindo:
Multiplico os denominadores:
. Assim
Passo 9
Apresento a forma final, mais limpa e adequada para
. Podemos deixar como
Também é possível reescrever
se preferir radicals no denominador: