Calcule as derivadas das funções:
y=\log _{10}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\log_{10}\left(x^{2}+1\right).
Informações dadas: a função é uma composição de um logaritmo de base 10 com a função polinomial x^{2}+1. A pergunta específica é: obter y', a derivada de y em relação a x. Não há outras condições fornecidas, então assumimos x\in\mathbb{R} (o argumento do logaritmo x^{2}+1 é sempre positivo).

Passo 2

Vamos usar uma identidade útil para logaritmos que facilita a diferenciação: a mudança de base. Ela diz que, para qualquer u>0,
\log_{10}u=\frac{\ln u}{\ln 10},
onde \ln é o logaritmo natural (base e) e \ln 10 é uma constante (número real). Explico por que isso ajuda: a derivada de \ln u é simples (é u'/u), enquanto a derivada direta de \log_{10}u pode ser obtida passando por \ln e usando que \ln 10 é constante.

Passo 3

Reescrevo a função usando a mudança de base. Coloco u(x)=x^{2}+1. Então
y=\log_{10}\big(u(x)\big)=\frac{\ln\big(u(x)\big)}{\ln 10}.
Como \ln 10 é constante, a derivada de y é
y'=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{d}{dx}\big[\ln(u(x))\big].
Agora aplicamos a regra da cadeia para \ln(u(x)): se temos uma composição f(g(x)) com f(t)=\ln t e g(x)=u(x), então
\frac{d}{dx}\ln\big(u(x)\big)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x).
Isso ocorre porque a derivada de f(t)=\ln t em relação a t é f'(t)=1/t, e multiplicamos por u'(x) pela regra da cadeia.

Passo 4

Agora identifique e calcule u(x) e u'(x). Nós escolhemos
u(x)=x^{2}+1,
logo derivando termo a termo (regra para potências e constantes),
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x.
Expliquei: derivada de x^{2} é 2x e derivada de 1 é 0.

Passo 5

Substituindo u(x) e u'(x) na expressão de y' obtida no Passo 3, temos
y'=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1}{\ln 10}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}.
Reorganizando os fatores fica mais limpinho:
y'=\frac{2x}{\big(x^{2}+1\big)\,\ln 10}.
Isso é a forma final e simplificada da derivada. Como check rápido, para x=0 temos y'(0)=0 (faz sentido: função tem ponto horizontal em x=0), e para x=1 temos y'(1)=\dfrac{2}{2\ln 10}=\dfrac{1}{\ln 10}.

Resposta

y'=\frac{2x}{\big(x^{2}+1\big)\,\ln 10}

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