Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas: a função é uma composição de um logaritmo de base
com a função polinomial
. A pergunta específica é: obter
, a derivada de
em relação a
. Não há outras condições fornecidas, então assumimos
(o argumento do logaritmo
é sempre positivo).
Passo 2
Vamos usar uma identidade útil para logaritmos que facilita a diferenciação: a mudança de base. Ela diz que, para qualquer
,
onde
é o logaritmo natural (base
) e
é uma constante (número real). Explico por que isso ajuda: a derivada de
é simples (é
), enquanto a derivada direta de
pode ser obtida passando por
e usando que
é constante.
Passo 3
Reescrevo a função usando a mudança de base. Coloco
. Então
Como
é constante, a derivada de
é
Agora aplicamos a regra da cadeia para
: se temos uma composição
com
e
, então
Isso ocorre porque a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos por
pela regra da cadeia.
Passo 4
Agora identifique e calcule
e
. Nós escolhemos
logo derivando termo a termo (regra para potências e constantes),
Expliquei: derivada de
é
e derivada de
é
.
Passo 5
Substituindo
e
na expressão de
obtida no Passo 3, temos
Reorganizando os fatores fica mais limpinho:
Isso é a forma final e simplificada da derivada. Como check rápido, para
temos
(faz sentido: função tem ponto horizontal em
), e para
temos
.