Calcule as derivadas parciais de 1a ordem das funções abaixo.
d) f(x, y)=\operatorname{arctg}(y / x).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\operatorname{arctg}\!\bigl(\tfrac yx\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=\operatorname{arctg}(u) e u(x,y)=y/x, então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y}.
Também precisamos saber que
\frac{d}{du}\,\operatorname{arctg}(u) =\frac1{1+u^2}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} para u=y/x.
Escrevendo u=y\,x^{-1}, temos
\frac{\partial u}{\partial x} =y\,\frac{\partial}{\partial x}(x^{-1}) =y\bigl(-x^{-2}\bigr) =-\frac{y}{x^2}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac1{1+u^2}\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac1{1+(y/x)^2}\,\Bigl(-\frac{y}{x^2}\Bigr).
Para simplificar note que
1+\bigl(\tfrac yx\bigr)^2 =\frac{x^2+y^2}{x^2},
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\frac{\partial f}{\partial x} =-\frac{y}{x^2}\;\frac{x^2}{x^2+y^2} =-\frac{y}{x^2+y^2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} para u=y/x.
Aqui x é tratado como constante, então
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac yx\Bigr) =\frac1{x}.
Usando a regra da cadeia para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac1{1+(y/x)^2}\,\frac1{x} =\frac1{x}\;\frac{x^2}{x^2+y^2} =\frac{x}{x^2+y^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =-\frac{y}{x^2+y^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x}{x^2+y^2}.

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