Calcule as derivadas parciais em cada caso:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=2 x^{3}+2 x y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: f(x,y)=2x^{3}+2xy^{2}.
  • Pedidos: calcular a derivada parcial em relação a x e a derivada parcial em relação a y.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação prática e regras que vou usar).
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita \dfrac{\partial f}{\partial x} ou f_x, é a derivada de f quando consideramos y como uma constante (ou seja, só permitimos variação em x).
  • A derivada parcial de f em relação a y, escrita \dfrac{\partial f}{\partial y} ou f_y, é a derivada de f quando consideramos x como constante.
    Regras de derivação que usaremos:
  • Regra do fator constante: se c é constante então \dfrac{d}{dx}(c\cdot g(x))=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1} para n real.
  • Regra do produto (quando necessário): \dfrac{d}{dx}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    Todas as fórmulas acima valem também para derivadas parciais, desde que a variável que está sendo diferenciada seja a variável de interesse e a outra seja tratada como constante.

Passo 3

Preparar a função para derivar separando termos. Escrevemos f como soma de dois termos:
f(x,y)=2x^{3}+2x y^{2}
Cada termo será diferenciado separadamente (a derivada de uma soma é a soma das derivadas).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • Primeiro termo: 2x^{3}. Aqui 2 é constante e usamos a regra da potência para x^{3}:
\frac{\partial}{\partial x}(2x^{3})=2\cdot \frac{d}{dx}(x^{3})=2\cdot 3x^{2}=6x^{2}.
  • Segundo termo: 2x y^{2}. Nesse termo, ao derivar em relação a x tratamos y^{2} como constante. Podemos ver 2x y^{2} como (2y^{2})\cdot x, então pela regra do fator constante:
\frac{\partial}{\partial x}(2x y^{2})=2y^{2}\cdot \frac{d}{dx}(x)=2y^{2}\cdot 1=2y^{2}.
Somando as duas peças:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}+2y^{2}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • Primeiro termo: 2x^{3} não depende de y, então sua derivada parcial em relação a y é zero:
\frac{\partial}{\partial y}(2x^{3})=0.
  • Segundo termo: 2x y^{2}. Agora ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Podemos escrever o termo como 2x\cdot y^{2}; aplicando a regra da potência ao y^{2} e a regra do fator constante:
\frac{\partial}{\partial y}(2x y^{2})=2x\cdot \frac{d}{dy}(y^{2})=2x\cdot 2y=4xy.
Somando as peças:
\frac{\partial f}{\partial y}=0+4xy=4xy.

Passo 6

Dica prática para a prova: identifique em cada termo quais letras são variáveis e quais são tratadas como constantes para a derivada que você está calculando. Use a regra da potência e a regra do fator constante para evitar aplicar produto quando não for necessário — isso economiza tempo e reduce erros.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=6x^{2}+2y^{2}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=4xy

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