Calcule as derivadas parciais em cada caso:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função dada. Informações fornecidas:
- Função:
. - Pedidos: calcular a derivada parcial em relação a
e a derivada parcial em relação a .
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação prática e regras que vou usar).
- A derivada parcial de
em relação a , escrita ou , é a derivada de quando consideramos como uma constante (ou seja, só permitimos variação em ). - A derivada parcial de
em relação a , escrita ou , é a derivada de quando consideramos como constante.
Regras de derivação que usaremos: - Regra do fator constante: se
é constante então . - Regra da potência:
para real. - Regra do produto (quando necessário):
.
Todas as fórmulas acima valem também para derivadas parciais, desde que a variável que está sendo diferenciada seja a variável de interesse e a outra seja tratada como constante.
Passo 3
Preparar a função para derivar separando termos. Escrevemos
como soma de dois termos:
Cada termo será diferenciado separadamente (a derivada de uma soma é a soma das derivadas).
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Primeiro termo:
. Aqui é constante e usamos a regra da potência para :
- Segundo termo:
. Nesse termo, ao derivar em relação a tratamos como constante. Podemos ver como , então pela regra do fator constante:
Somando as duas peças:
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Primeiro termo:
não depende de , então sua derivada parcial em relação a é zero:
- Segundo termo:
. Agora ao derivar em relação a tratamos como constante. Podemos escrever o termo como ; aplicando a regra da potência ao e a regra do fator constante:
Somando as peças:
Passo 6
Dica prática para a prova: identifique em cada termo quais letras são variáveis e quais são tratadas como constantes para a derivada que você está calculando. Use a regra da potência e a regra do fator constante para evitar aplicar produto quando não for necessário — isso economiza tempo e reduce erros.