Sejam A, B abertos. Entāo os conjuntos A+B=\{x+y ; x \in A, y \in B\} e A \cdot B=\{x \cdot y ; x \in A, y \in B\} são abertos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • Pede-se provar que, dados A e B abertos (em \mathbb{R}), os conjuntos A+B=\{x+y \;|\; x\in A,\; y\in B\}e A\cdot B=\{x\cdot y \;|\; x\in A,\; y\in B\}são abertos em \mathbb{R}.
  • Informação dada: A e B são abertos. Lembrete que isto significa: para cada ponto a\in A existe \varepsilon_a>0 tal que (a-\varepsilon_a,a+\varepsilon_a)\subset A, e análogamente para cada b\in B existe \varepsilon_b>0 com (b-\varepsilon_b,b+\varepsilon_b)\subset B.
  • Meta concreta em cada caso: tomar um elemento z do conjunto (ou seja, representar z como soma ou produto de pontos de A e B) e mostrar que existe um intervalo aberto centrado em z totalmente contido no conjunto — isso prova que o conjunto é aberto.

Passo 2

Prova de que A+B é aberto — ideia e construção do intervalo.
Tomemos um ponto qualquer z\in A+B. Por definição existe a\in A e b\in B tais que z=a+b. Como A é aberto, existe \rho>0 tal que
(a-\rho,a+\rho)\subset A.
Vou mostrar que o intervalo (z-\rho,z+\rho) está contido em A+B.
Seja t um número com |t-z|<\rho. Escrevemos
t = z + (t-z) = (a + (t-z)) + b.
Agora |t-z|<\rho implica que a+(t-z)\in(a-\rho,a+\rho)\subset A. Como b\in B, concluímos que t é soma de um elemento de A com um elemento de B, ou seja t\in A+B.
Portanto todo t com |t-z|<\rho pertence a A+B, logo (z-\rho,z+\rho)\subset A+B. Isso mostra que em torno de cada z\in A+B existe um intervalo aberto contido em A+B, o que prova que A+B é aberto.
(Dica prática para prova em prova: ao ver soma de abertos, fixe uma representação z=a+b e faça um deslocamento no primeiro fator ou no segundo — isso costuma resolver fácil.)

Passo 3

Comentário didático sobre por que o passo anterior é suficiente.
A definição prática de aberto em \mathbb{R} foi usada: um conjunto é aberto se todo ponto tem um intervalo aberto centrado nele contido no conjunto. No passo anterior mostramos explicitamente um \rho>0 (derivado da abertura de A) que funciona para z. Não foi preciso combinar os raios de A e B; bastou deslocar um dos fatores (a) para absorver a variação do valor t. Por simetria poderia-se ter fixado a e deslocado b.

Passo 4

Prova de que A\cdot B é aberto — preparação e ideia principal.
Tomemos z\in A\cdot B. Então existe a\in A e b\in B tais que z=ab. Como A e B são abertos, existem \rho_a>0 e \rho_b>0 tais que
(a-\rho_a,a+\rho_a)\subset A,\qquad (b-\rho_b,b+\rho_b)\subset B.
Queremos achar \delta>0 tal que (z-\delta,z+\delta)\subset A\cdot B. A técnica é usar representação do número t próximo de z como produto de um elemento em A por um elemento em B; para isso é útil manter um dos fatores fixo se esse fator for não nulo.
Faremos casos mais simples primeiro (um dos fatores não nulo), e depois lidaremos com o caso em que algum fator seja zero.

Passo 5

Caso 1: b\neq 0. Construção explícita do intervalo em torno de z.
Se b\neq 0, fixe b\in B. Tome \rho_a>0 como antes. Considere
\delta = |b|\rho_a.
Mostrarei que (z-\delta,z+\delta)\subset A\cdot B.
Seja t com |t-z|<\delta. Defina
x=\frac{t}{b}.
Então
|x-a| = \left|\frac{t}{b}-a\right| = \frac{|t-ab|}{|b|} = \frac{|t-z|}{|b|} < \frac{\delta}{|b|} = \rho_a.
Portanto x\in(a-\rho_a,a+\rho_a)\subset A. Como b\in B, temos t = x\cdot b\in A\cdot B. Assim todo t com |t-z|<\delta pertence a A\cdot B, logo (z-\delta,z+\delta)\subset A\cdot B.
Observação: a mesma construção vale se a\neq 0 trocando papéis de a e b: então podemos tomar \delta = |a|\rho_b e usar y=t/a.

Passo 6

Caso 2: aparece um fator igual a zero (por exemplo b=0). Como tratar z=0.
Se na representação escolhida z=ab um dos fatores for zero, por exemplo b=0, então z=0. Como B é aberto e contém 0, existe algum elemento não nulo b'\in B arbitrariamente próximo de 0 (todo intervalo em torno de 0 contém pontos não nulos). Como a\in A e a (na representação) é 0 também — já que ab=0 — então 0\in A. Assim podemos representar z=0 também como 0\cdot b' com 0\in A e b'\in B e aqui o segundo fator b' é não nulo. Voltamos então ao Caso 1: com uma representação que tenha um fator não nulo, a argumentação do Caso 1 fornece um \delta>0 tal que (0-\delta,0+\delta)\subset A\cdot B.
Em palavras mais diretas: se z=0 aparece como produto, pelo menos um dos conjuntos A ou B contém 0; o outro conjunto, por ser aberto, contém pontos diferentes de 0. Usando esse ponto não nulo fixo e a mesma técnica do Caso 1 obtém-se um intervalo aberto em torno de 0 contido em A\cdot B.
Assim cobrimos todas as possibilidades (ou a ou b é não nulo, ou ambos zero mas então existe outra representação com fator não nulo porque os conjuntos são abertos). Em todo caso existe \delta>0 com (z-\delta,z+\delta)\subset A\cdot B.

Passo 7

Conclusão final.
Mostramos que para todo z\in A+B existe \rho>0 com (z-\rho,z+\rho)\subset A+B, logo A+B é aberto.
Mostramos também que para todo z\in A\cdot B existe \delta>0 com (z-\delta,z+\delta)\subset A\cdot B, logo A\cdot B é aberto.
Portanto ambos os conjuntos solicitados são abertos.

Resposta

A+B e A\cdot B são abertos.

Exercícios relacionados