Tem-se
se, e somente se, para todo aberto
contendo o ponto
, existe
tal que
implica
.
Passo 1
O enunciado afirma uma equivalência e pede que mostremos que ela é verdadeira: que a sequência
converge para
(no sentido usual) se, e somente se, para todo conjunto aberto
que contém
existe
tal que
implica
.
Informações dadas que vamos usar:
- Há uma sequência
com termos em algum espaço métrico (ou em ), e um ponto nesse espaço. - A noção padrão de convergência que vamos usar é a seguinte (forma
- ): para todo existe tal que implica . - A outra noção envolve conjuntos abertos: "para todo aberto
com existe tal que ".
O que se pede: provar as duas implicações
- Se
(definição - ), então a condição com abertos vale. - Se a condição com abertos vale, então
.
Passo 2
Definições e ideias-chave que usaremos (explicadas devagar):
- Definição
- de convergência: dizemos que se, para todo , existe tal que, sempre que , vale . Aqui significa que está dentro da bola aberta centrada em e raio , denotada por . - Definição de aberto (no contexto métrico): um conjunto
é aberto se, para todo ponto , existe tal que . Em particular, se é aberto e , então existe tal que .
Essas duas definições mostram a ligação: bolas abertassão exemplos canônicos de vizinhanças abertas de . A ideia geral da prova será usar essa relação entre bolas e abertos.
Passo 3
Prova da primeira implicação:
implica a condição com abertos.
Começamos assumindo a hipótese padrão:
Agora fixe um conjunto aberto
tal que
. Como
é aberto e contém
, pela definição de aberto existe
tal que
Pelo fato de
(hipótese), para esse
existe
tal que
. Mas
é exatamente a condição
. Como
, concluímos que para esse mesmo
vale
Isso mostra que, para um aberto arbitrário
contendo
, existe um
com a propriedade desejada. Portanto a condição com abertos vale.
Passo 4
Prova da segunda implicação: a condição com abertos implica
.
Agora assumimos a hipótese alternativa:
Queremos mostrar a definição
-
: isto é, fixar um
arbitrário e encontrar
tal que
.
Dado
, considere a bola aberta
. Essa bola é um conjunto aberto que contém
. Pela hipótese alternativa, existe
tal que
Mas
significa exatamente
. Assim, para esse
temos a propriedade desejada para o
escolhido. Como
foi arbitrário, a definição
-
de convergência de
para
está satisfeita. Logo
.
Passo 5
Discussão rápida sobre quantificadores e intuição (para você levar pra prova):
- É importante perceber a ordem dos quantificadores na definição
- : “para todo existe tal que para todo …”. Na versão com abertos a ordem é: “para todo aberto contendo existe tal que para todo …”. As duas declarações seguem o mesmo esquema lógico, apenas trocando "bola " por "aberto contendo ". - Intuição: convergência significa que, a partir de algum índice, todos os termos da sequência ficam dentro de qualquer vizinhança aberta que escolhermos ao redor de
. Usar bolas é conveniente para cálculos ( -definição), enquanto afirmar a propriedade para todo aberto é uma forma topológica mais elegante e geralmente mais geral (vale em qualquer espaço topológico, desde que se interprete corretamente “bola” no caso métrico). - Exemplo concretinho: se
e , para qualquer aberto que contém existe um intervalo ; escolha tal que ; então para tem , logo . Isso ilustra a implicação prática.
Resposta
A equivalência é verdadeira:
se, e somente se, para todo aberto
contendo
existe
tal que
implica
.