Tem-se \lim x_{n}=a se, e somente se, para todo aberto A contendo o ponto a, existe n_{0} \in \mathbb{N} tal que n>n_{0} implica x_{n} \in A.

Passo 1

O enunciado afirma uma equivalência e pede que mostremos que ela é verdadeira: que a sequência \{x_n\} converge para a (no sentido usual) se, e somente se, para todo conjunto aberto A que contém a existe n_0\in\mathbb{N} tal que n>n_0 implica x_n\in A.
Informações dadas que vamos usar:
  • Há uma sequência \{x_n\} com termos em algum espaço métrico (ou em \mathbb{R}), e um ponto a nesse espaço.
  • A noção padrão de convergência que vamos usar é a seguinte (forma \varepsilon- N): para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que n>N implica |x_n-a|<\varepsilon.
  • A outra noção envolve conjuntos abertos: "para todo aberto A com a\in A existe n_0 tal que n>n_0\Rightarrow x_n\in A".
O que se pede: provar as duas implicações
  1. Se \lim x_n = a (definição \varepsilon- N), então a condição com abertos vale.
  2. Se a condição com abertos vale, então \lim x_n = a.

Passo 2

Definições e ideias-chave que usaremos (explicadas devagar):
  • Definição \varepsilon- N de convergência: dizemos que \lim x_n = a se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n>N, vale |x_n-a|<\varepsilon. Aqui |x_n-a|<\varepsilon significa que x_n está dentro da bola aberta centrada em a e raio \varepsilon, denotada por B(a,\varepsilon).
  • Definição de aberto (no contexto métrico): um conjunto A é aberto se, para todo ponto y\in A, existe \delta>0 tal que B(y,\delta)\subset A. Em particular, se A é aberto e a\in A, então existe \varepsilon>0 tal que B(a,\varepsilon)\subset A.
    Essas duas definições mostram a ligação: bolas abertas B(a,\varepsilon) são exemplos canônicos de vizinhanças abertas de a. A ideia geral da prova será usar essa relação entre bolas e abertos.

Passo 3

Prova da primeira implicação: \lim x_n = a implica a condição com abertos.
Começamos assumindo a hipótese padrão:
\text{(Hipótese)}\qquad \forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ n>N\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon.ó
Agora fixe um conjunto aberto A tal que a\in A. Como A é aberto e contém a, pela definição de aberto existe \varepsilon>0 tal que
B(a,\varepsilon)=\{y:\\ |y-a|<\varepsilon\}\subset A.
Pelo fato de \lim x_n=a (hipótese), para esse \varepsilon existe N tal que n>N\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon. Mas |x_n-a|<\varepsilon é exatamente a condição x_n\in B(a,\varepsilon). Como B(a,\varepsilon)\subset A, concluímos que para esse mesmo N vale
n>N\quad\Rightarrow\quad x_n\in A.
Isso mostra que, para um aberto arbitrário A contendo a, existe um N com a propriedade desejada. Portanto a condição com abertos vale.

Passo 4

Prova da segunda implicação: a condição com abertos implica \lim x_n = a.
Agora assumimos a hipótese alternativa:
\text{(Hipótese alternativa)}\qquad \forall\\ \text{aberto }A\text{ com }a\in A\\ \exists n_0\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ n>n_0\Rightarrow x_n\in A.ó
Queremos mostrar a definição \varepsilon- N: isto é, fixar um \varepsilon>0 arbitrário e encontrar N tal que n>N\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon.
Dado \varepsilon>0, considere a bola aberta B(a,\varepsilon)=\{y:\\ |y-a|<\varepsilon\}. Essa bola é um conjunto aberto que contém a. Pela hipótese alternativa, existe n_0\in\mathbb{N} tal que
n>n_0\quad\Rightarrow\quad x_n\in B(a,\varepsilon).
Mas x_n\in B(a,\varepsilon) significa exatamente |x_n-a|<\varepsilon. Assim, para esse n_0 temos a propriedade desejada para o \varepsilon escolhido. Como \varepsilon>0 foi arbitrário, a definição \varepsilon- N de convergência de \{x_n\} para a está satisfeita. Logo \lim x_n = a.

Passo 5

Discussão rápida sobre quantificadores e intuição (para você levar pra prova):
  • É importante perceber a ordem dos quantificadores na definição \varepsilon- N: “para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo n>N …”. Na versão com abertos a ordem é: “para todo aberto A contendo a existe n_0 tal que para todo n>n_0…”. As duas declarações seguem o mesmo esquema lógico, apenas trocando "bola B(a,\varepsilon)" por "aberto A contendo a".
  • Intuição: convergência significa que, a partir de algum índice, todos os termos da sequência ficam dentro de qualquer vizinhança aberta que escolhermos ao redor de a. Usar bolas é conveniente para cálculos ( \varepsilon-definição), enquanto afirmar a propriedade para todo aberto é uma forma topológica mais elegante e geralmente mais geral (vale em qualquer espaço topológico, desde que se interprete corretamente “bola” no caso métrico).
  • Exemplo concretinho: se x_n=1/n e a=0, para qualquer aberto A que contém 0 existe um intervalo (- \delta,\delta)\subset A; escolha N tal que 1/N<\delta; então para n>N tem x_n=1/n<\delta, logo x_n\in A. Isso ilustra a implicação prática.

Resposta

A equivalência é verdadeira: \lim x_{n}=a se, e somente se, para todo aberto A contendo a existe n_{0}\in\mathbb{N} tal que n>n_{0} implica x_{n}\in A.

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