Calcule as derivadas parciais em cada caso:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função dada; isto é, encontrar
e
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - As variáveis independentes são
e . - Pede-se as duas derivadas parciais: em relação a
e em relação a .
Passo 2
O que é uma derivada parcial e quais regras vamos usar (sem pular etapas).
- A derivada parcial
é a derivada de em relação a mantendo constante. Analogamente, deriva em relação a mantendo constante. - Regras que serão usadas:
- Regra do produto: se
e são funções, então e análogo para . - Regra da cadeia para exponencial:
. - Regra da cadeia para logaritmo natural:
.
- Regra do produto: se
- Vou decompor a função em fatores para aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Reescrevo a função separando fatores úteis:
onde tomo
Essa decomposição facilita usar a regra do produto:
, e o mesmo para
.
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Temos
. Ao derivar em relação a tratamos como constante. - Aplicando a regra do produto ao fator
: - Derivada de
é . - Derivada de
é (por regra da cadeia: derivada de é ).
- Derivada de
- Assim
- Multiplicando pelo
que ficou como constante,
Passo 5
Calcular
passo a passo.
-
. A função interna é . - Diferenciando em relação a
(com constante): . - Pela regra do logaritmo:
(note a grande simplificação: os fatores e se cancelam).
Passo 6
Montar
usando produto e simplificar.
- Pela regra do produto para
: - Substituindo os resultados:
- Simplifico o segundo termo (o
cancela): - Fatorando
:
Passo 7
Calcular
passo a passo.
- Lembre que
. Ao derivar em relação a tratamos e como constantes. - Derivando o fator
obtemos:
Passo 8
Calcular
passo a passo.
- Novamente
com . - Diferenciando em relação a
: . - Pela regra do logaritmo:
(novamente há cancelamentos que simplificam).
Passo 9
Montar
e simplificar.
- Pela regra do produto:
- Substituindo:
- Simplificando o segundo termo (
cancela): - Fatorando
:
Passo 10
Dicas rápidas para a prova (pequena revisão prática):
- Sempre identifique fatores que podem ser agrupados (aqui
e ) para aplicar produto e cadeia sem erro. - Ao derivar
em relação a , trate como constante; muitas vezes ocorrem cancelamentos como aqui que deixam ou . - Verifique domínio:
exige — útil para interpretarem os resultados numericamentes. - Se quiser checar, escolha um ponto simples (por exemplo
, ) e calcule numericamente as duas expressões para ver se fazem sentido.