Calcule as derivadas parciais em cada caso:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=5 x y e^{3 x-2} \cdot \ln \left(2 x y^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função dada; isto é, encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=5\,x\,y\,e^{3x-2}\cdot \ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr).
  • As variáveis independentes são x e y.
  • Pede-se as duas derivadas parciais: em relação a x e em relação a y.

Passo 2

O que é uma derivada parcial e quais regras vamos usar (sem pular etapas).
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em relação a x mantendo y constante. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} deriva em relação a y mantendo x constante.
  • Regras que serão usadas:
    • Regra do produto: se u(x,y) e v(x,y) são funções, então \frac{\partial}{\partial x}(u v)=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x},e análogo para \partial/\partial y.
    • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}.
    • Regra da cadeia para logaritmo natural: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Vou decompor a função em fatores para aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Reescrevo a função separando fatores úteis:
f(x,y)=5\cdot A(x,y)\cdot B(x,y),
onde tomo
A(x,y)=x\,y\,e^{3x-2},\qquad B(x,y)=\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr).
Essa decomposição facilita usar a regra do produto: \partial(AB)/\partial x = A_x B + A B_x, e o mesmo para \partial/\partial y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial A}{\partial x} passo a passo.
  • Temos A(x,y)=x\,y\,e^{3x-2}=y\cdot\bigl(x e^{3x-2}\bigr). Ao derivar em relação a x tratamos y como constante.
  • Aplicando a regra do produto ao fator x e^{3x-2}:
    • Derivada de x é 1.
    • Derivada de e^{3x-2} é 3 e^{3x-2} (por regra da cadeia: derivada de 3x-2 é 3).
  • Assim \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{3x-2}\bigr)=1\cdot e^{3x-2}+x\cdot 3 e^{3x-2}=e^{3x-2}(1+3x).
  • Multiplicando pelo y que ficou como constante, \frac{\partial A}{\partial x}=y\,e^{3x-2}(1+3x).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial B}{\partial x} passo a passo.
  • B(x,y)=\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr). A função interna é u(x,y)=2x y^{3}.
  • Diferenciando em relação a x (com y constante): \dfrac{\partial u}{\partial x}=2 y^{3}.
  • Pela regra do logaritmo: \frac{\partial B}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\ln(u)=\frac{u_x}{u}=\frac{2 y^{3}}{2x y^{3}}=\frac{1}{x}.(note a grande simplificação: os fatores 2 e y^{3} se cancelam).

Passo 6

Montar \dfrac{\partial f}{\partial x} usando produto e simplificar.
  • Pela regra do produto para f=5AB: \frac{\partial f}{\partial x}=5\left(A_x\,B + A\,B_x\right).
  • Substituindo os resultados: \frac{\partial f}{\partial x}=5\Bigl(y\,e^{3x-2}(1+3x)\cdot \ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+x\,y\,e^{3x-2}\cdot\frac{1}{x}\Bigr).
  • Simplifico o segundo termo (o x cancela): \frac{\partial f}{\partial x}=5\Bigl(y\,e^{3x-2}(1+3x)\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+y\,e^{3x-2}\Bigr).
  • Fatorando y\,e^{3x-2}: \frac{\partial f}{\partial x}=5\,y\,e^{3x-2}\Bigl((1+3x)\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+1\Bigr).

Passo 7

Calcular \dfrac{\partial A}{\partial y} passo a passo.
  • Lembre que A(x,y)=x\,y\,e^{3x-2}. Ao derivar em relação a y tratamos x e e^{3x-2} como constantes.
  • Derivando o fator y obtemos: \frac{\partial A}{\partial y}=x\,e^{3x-2}.

Passo 8

Calcular \dfrac{\partial B}{\partial y} passo a passo.
  • Novamente B(x,y)=\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr) com u=2x y^{3}.
  • Diferenciando em relação a y: \dfrac{\partial u}{\partial y}=2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}.
  • Pela regra do logaritmo: \frac{\partial B}{\partial y}=\frac{u_y}{u}=\frac{6x y^{2}}{2x y^{3}}=\frac{3}{y}.(novamente há cancelamentos que simplificam).

Passo 9

Montar \dfrac{\partial f}{\partial y} e simplificar.
  • Pela regra do produto: \frac{\partial f}{\partial y}=5\left(A_y\,B + A\,B_y\right).
  • Substituindo: \frac{\partial f}{\partial y}=5\Bigl(x\,e^{3x-2}\cdot \ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+x\,y\,e^{3x-2}\cdot\frac{3}{y}\Bigr).
  • Simplificando o segundo termo ( y cancela): \frac{\partial f}{\partial y}=5\Bigl(x\,e^{3x-2}\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+3x\,e^{3x-2}\Bigr).
  • Fatorando x\,e^{3x-2}: \frac{\partial f}{\partial y}=5\,x\,e^{3x-2}\Bigl(\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+3\Bigr).

Passo 10

Dicas rápidas para a prova (pequena revisão prática):
  • Sempre identifique fatores que podem ser agrupados (aqui A e B) para aplicar produto e cadeia sem erro.
  • Ao derivar \ln(2x y^{3}) em relação a x, trate y como constante; muitas vezes ocorrem cancelamentos como aqui que deixam \tfrac{1}{x} ou \tfrac{3}{y}.
  • Verifique domínio: \ln(2x y^{3}) exige 2x y^{3}>0 — útil para interpretarem os resultados numericamentes.
  • Se quiser checar, escolha um ponto simples (por exemplo x=1, y=1) e calcule numericamente as duas expressões para ver se fazem sentido.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=5\,y\,e^{3x-2}\Bigl((1+3x)\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+1\Bigr)
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=5\,x\,e^{3x-2}\Bigl(\ln\!\bigl(2x y^{3}\bigr)+3\Bigr)

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