Calcule as derivadas parciais em cada caso:
f(x, y)=\frac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}
f(x, y)=\frac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a
e em relação a , ou seja e . - Observação sobre domínio: a fórmula original tem denominador
, então a expressão original não está definida quando ou . As manipulações algébricas a seguir são válidas para os pontos onde a expressão original está definida ( e ).
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de derivar — isso facilita muito os cálculos em prova. Vamos cancelar fatores iguais no numerador e denominador:
Cancela-se um fator
e um fator
:
Portanto, para
e
temos
Passo 3
Breve revisão das regras que vamos usar (já que você quer aprender passo a passo):
- Definição prática de derivada parcial: para
trata-se como constante e diferencia-se em relação a ; para trata-se como constante e diferencia-se em relação a . - Regra do fator constante: uma constante multiplicativa pode ser colocada fora da derivada.
- Regra de potência: para uma variável
, . Isso vale também para potências com expoente negativo.
Aplicaremos essas regras à forma simplificada.
Passo 4
Cálculo de
.
Trata-se
como constante. Podemos escrever:
onde
é constante em relação a
. Aplicando a regra da potência:
Simplificando:
Passo 5
Cálculo de
.
Agora trata-se
como constante. Escrevemos:
onde
é constante em relação a
. Aplicando a regra da potência a
:
Simplificando:
Passo 6
Comentários finais e domínio de validade:
- As derivadas parciais foram obtidas a partir da forma simplificada, mas lembre-se que a função original não está definida em
ou . Portanto as expressões das derivadas são válidas nos pontos onde a função original existe, isto é, para e . - Se na prova você receber uma expressão racional como essa, sempre vale a pena simplificá-la antes de derivar — normalmente economiza trabalho e erro.