Calcule as derivadas parciais em cada caso:
f(x, y)=\frac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=\dfrac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}.
  • Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e em relação a y, ou seja \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
  • Observação sobre domínio: a fórmula original tem denominador 2 x y^{3}, então a expressão original não está definida quando x=0 ou y=0. As manipulações algébricas a seguir são válidas para os pontos onde a expressão original está definida ( x\neq0 e y\neq0).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica antes de derivar — isso facilita muito os cálculos em prova. Vamos cancelar fatores iguais no numerador e denominador:
f(x,y)=\frac{5 x^{3} y}{2 x y^{3}}
Cancela-se um fator x e um fator y:
f(x,y)=\frac{5}{2}\,x^{3-1}\,y^{1-3}=\frac{5}{2}\,x^{2}\,y^{-2}.
Portanto, para x\neq0 e y\neq0 temos
f(x,y)=\frac{5}{2}\,x^{2}\,y^{-2}.

Passo 3

Breve revisão das regras que vamos usar (já que você quer aprender passo a passo):
  • Definição prática de derivada parcial: para \dfrac{\partial f}{\partial x} trata-se y como constante e diferencia-se em relação a x; para \dfrac{\partial f}{\partial y} trata-se x como constante e diferencia-se em relação a y.
  • Regra do fator constante: uma constante multiplicativa pode ser colocada fora da derivada.
  • Regra de potência: para uma variável t, \dfrac{d}{dt}\big(t^{n}\big)=n\,t^{n-1}. Isso vale também para potências com expoente negativo.
    Aplicaremos essas regras à forma simplificada \dfrac{5}{2}x^{2}y^{-2}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Trata-se y como constante. Podemos escrever:
f(x,y)=\frac{5}{2}\,y^{-2}\,x^{2},
onde \dfrac{5}{2}y^{-2} é constante em relação a x. Aplicando a regra da potência:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{5}{2}\,y^{-2}\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big) =\frac{5}{2}\,y^{-2}\cdot 2x.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial x}=5x\,y^{-2}=\frac{5x}{y^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora trata-se x como constante. Escrevemos:
f(x,y)=\frac{5}{2}\,x^{2}\,y^{-2},
onde \dfrac{5}{2}x^{2} é constante em relação a y. Aplicando a regra da potência a y^{-2}:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{5}{2}\,x^{2}\cdot\frac{d}{dy}\big(y^{-2}\big) =\frac{5}{2}\,x^{2}\cdot(-2)\,y^{-3}.
Simplificando:
\frac{\partial f}{\partial y}=-5\,x^{2}\,y^{-3}=-\frac{5x^{2}}{y^{3}}.

Passo 6

Comentários finais e domínio de validade:
  • As derivadas parciais foram obtidas a partir da forma simplificada, mas lembre-se que a função original não está definida em x=0 ou y=0. Portanto as expressões das derivadas são válidas nos pontos onde a função original existe, isto é, para x\neq0 e y\neq0.
  • Se na prova você receber uma expressão racional como essa, sempre vale a pena simplificá-la antes de derivar — normalmente economiza trabalho e erro.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{5x}{y^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{5x^{2}}{y^{3}}

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