Calcule as derivadas parciais em cada caso:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
. Ou seja, as duas quantidades solicitadas são:
Informações dadas: a expressão explícita da função é
.
Passo 2
Uma estratégia simples: primeiro simplificar a expressão multiplicando os fatores constantes e somando os expoentes das mesmas bases. Regras usadas:
- Para constantes:
. - Para potências com mesma base:
e .
Aplicando isso à função:
Passo 3
Relembrando o que é derivada parcial: ao calcular
tratamos
como constante e derivamos em relação a
. Analogamente, para
tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Regra de diferenciação que vamos usar (regra da potência e fator constante):
- Para
, temos . - Se uma função é multiplicada por uma constante
, então .
Passo 4
Calcular
a partir de
.
Aqui e
são constantes em relação a
. Aplicando a regra da potência à parte
:
Aqui
Passo 5
Calcular
a partir de
.
Agora e
são constantes em relação a
. Aplicando a regra da potência à parte
:
Agora
Passo 6
(Vou mostrar rapidinho que daria no mesmo se usássemos a regra do produto sem simplificar:) partindo de
e
, a regra do produto para derivada parcial em
é
Calculando
e
, obtemos
o que confirma o resultado anterior. Procedimento análogo para
confirma
.