Calcule as derivadas parciais em cada caso:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=5 x^{3} y \cdot 2 x y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=5 x^{3} y \cdot 2 x y^{3}. Ou seja, as duas quantidades solicitadas são:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Informações dadas: a expressão explícita da função é f(x,y)=5 x^{3} y \cdot 2 x y^{3}.

Passo 2

Uma estratégia simples: primeiro simplificar a expressão multiplicando os fatores constantes e somando os expoentes das mesmas bases. Regras usadas:
  • Para constantes: 5\cdot 2=10.
  • Para potências com mesma base: x^{a}\cdot x^{b}=x^{a+b} e y^{a}\cdot y^{b}=y^{a+b}.
Aplicando isso à função:
f(x,y)=5 x^{3} y \cdot 2 x y^{3}=10\,x^{3+1}y^{1+3}=10\,x^{4}y^{4}.

Passo 3

Relembrando o que é derivada parcial: ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Analogamente, para \dfrac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
Regra de diferenciação que vamos usar (regra da potência e fator constante):
  • Para h(x)=x^{n}, temos h'(x)=n x^{n-1}.
  • Se uma função é multiplicada por uma constante C, então \dfrac{d}{dx}(C\cdot g(x))=C\cdot g'(x).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} a partir de f(x,y)=10\,x^{4}y^{4}.
Aqui 10 e y^{4} são constantes em relação a x. Aplicando a regra da potência à parte x^{4}:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=10\cdot y^{4}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)=10\cdot y^{4}\cdot 4x^{3}=40\,x^{3}y^{4}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} a partir de f(x,y)=10\,x^{4}y^{4}.
Agora 10 e x^{4} são constantes em relação a y. Aplicando a regra da potência à parte y^{4}:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=10\cdot x^{4}\cdot \frac{d}{dy}\bigl(y^{4}\bigr)=10\cdot x^{4}\cdot 4y^{3}=40\,x^{4}y^{3}.

Passo 6

(Vou mostrar rapidinho que daria no mesmo se usássemos a regra do produto sem simplificar:) partindo de g(x,y)=5x^{3}y e h(x,y)=2xy^{3}, a regra do produto para derivada parcial em x é
\frac{\partial}{\partial x}(gh)=\frac{\partial g}{\partial x}\,h+g\,\frac{\partial h}{\partial x}.
Calculando \partial g/\partial x=15x^{2}y e \partial h/\partial x=2y^{3}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=(15x^{2}y)(2xy^{3})+(5x^{3}y)(2y^{3})=30x^{3}y^{4}+10x^{3}y^{4}=40x^{3}y^{4},
o que confirma o resultado anterior. Procedimento análogo para \partial f/\partial y confirma \;40x^{4}y^{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=40\,x^{3}y^{4}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=40\,x^{4}y^{3}

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