Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
11. f(x, y)=y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=y^{2}\,\ln\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)
e, em seguida, montar a diferencial total df.
Para isso vamos usar a regra do produto (pois f é y^2 vezes \ln(x^2+y^2)) e a regra da cadeia (para derivar \ln(x^2+y^2)).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Tratamos y^{2} como constante e derivamos \ln(x^2+y^2) em relação a x:
\frac{d}{dx}\ln(x^2+y^2) =\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2x =\frac{2x}{x^2+y^2}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =y^{2}\cdot\frac{2x}{x^2+y^2} =\frac{2x\,y^{2}}{x^2+y^2}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui usamos a regra do produto sobre y^2 e \ln(x^2+y^2):
  1. Derivada de y^2 é 2y, multiplicada por \ln(x^2+y^2).
  2. Mais y^2 vezes a derivada de \ln(x^2+y^2) em relação a y, que é
\frac{1}{x^2+y^2}\cdot 2y =\frac{2y}{x^2+y^2}.
Somando os dois termos:
\frac{\partial f}{\partial y} =2y\,\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) + y^2\cdot\frac{2y}{x^2+y^2} =2y\,\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) +\frac{2y^{3}}{x^2+y^2}.

Passo 4

Montar a diferencial total df.
Por definição,
df =\frac{\partial f}{\partial x}\,dx +\frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Substituindo os resultados anteriores,
df =\frac{2x\,y^{2}}{x^2+y^2}\,dx +\Bigl(2y\,\ln(x^2+y^2)+\frac{2y^{3}}{x^2+y^2}\Bigr)\,dy.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x\,y^{2}}{x^2+y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =2y\,\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) +\frac{2y^{3}}{x^2+y^2},
df =\frac{2x\,y^{2}}{x^2+y^2}\,dx +\Bigl(2y\,\ln(x^2+y^2) +\frac{2y^{3}}{x^2+y^2}\Bigr)\,dy.

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