A hélice \mathbf{r}(t)=\langle\cos (\pi t / 2), sen (\pi t / 2), t\rangle intercepta a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \mathrm{em} dois pontos. Encontre o ângulo de intersecção em cada ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá a hélice
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\,\sin\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\,t\bigr\rangle
e a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=2. Queremos (1) encontrar os pontos de intersecção e (2) calcular o ângulo de intersecção da curva com a superfície em cada ponto, usando a teoria de curvas e superfícies: vetor tangente da curva e normal da superfície.

Passo 2

Para achar os t de intersecção, impomos
x^{2}+y^{2}+z^{2} =\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) +\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr) +t^{2} =1+t^{2} \stackrel!=2
Logo t^{2}=1, ou seja t=\pm1. Os pontos são
\mathbf{r}(1)=(0,1,1), \quad \mathbf{r}(-1)=(0,-1,-1).

Passo 3

O vetor tangente da hélice é
\mathbf{r}'(t) =\Bigl\langle -\tfrac{\pi}{2}\,\sin\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\, \tfrac{\pi}{2}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi t}{2}\bigr),\, 1 \Bigr\rangle.
Em t=1 obtemos \mathbf{r}'(1)=\langle -\tfrac{\pi}{2},0,1\rangle e em t=-1 \mathbf{r}'(-1)=\langle \tfrac{\pi}{2},0,1\rangle.

Passo 4

A normal da esfera F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 é \nabla F=(2x,2y,2z). Nos pontos de intersecção:
\nabla F\bigl(\mathbf{r}(1)\bigr)=(0,2,2), \quad \nabla F\bigl(\mathbf{r}(-1)\bigr)=(0,-2,-2).

Passo 5

O ângulo \varphi de intersecção entre a curva e a superfície é o ângulo entre o vetor tangente \mathbf{v}=\mathbf{r}' e o plano tangente, cujo seno satisfaz
\sin\varphi =\frac{\bigl|\nabla F\cdot\mathbf{v}\bigr|}{\|\nabla F\|\;\|\mathbf{v}\|}.

Passo 6

Em t=1 temos
\nabla F\cdot\mathbf{r}'(1) =(0,2,2)\cdot\bigl(-\tfrac{\pi}{2},0,1\bigr)=2, \quad \|\nabla F\|=2\sqrt2, \quad \|\mathbf{r}'(1)\|=\sqrt{\tfrac{\pi^2}{4}+1}.
Logo
\sin\varphi =\frac{2}{2\sqrt2\,\sqrt{\tfrac{\pi^2}{4}+1}} =\frac{1}{\sqrt{\tfrac{\pi^2}{2}+2}} =\sqrt{\frac{2}{\pi^2+4}}.
O mesmo valor ocorre em t=-1 (pois o produto escalar muda de sinal, mas tomamos valor absoluto). Portanto
\varphi=\arcsin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{\pi^{2}+4}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \varphi=\arcsin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{\pi^{2}+4}}\Bigr)\approx22{,}3^\circ em cada um dos dois pontos.

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