Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = (x^2 - y^2)\,e^{-x}
e pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl((x^2 - y^2)e^{-x}\bigr) = e^{-x}\bigl(2x - (x^2 - y^2)\bigr) = e^{-x}\bigl(2x - x^2 + y^2\bigr),
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((x^2 - y^2)e^{-x}\bigr) = -2y\,e^{-x}.
Para pontos críticos, resolvemos
f_x = 0 \,\Longrightarrow\,2x - x^2 + y^2 = 0, \qquad f_y = 0 \,\Longrightarrow\,y = 0.
Substituindo y=0 em 2x - x^2 + y^2=0
2x - x^2 = 0 \;\Longrightarrow\; x(x-2)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\text{ ou }x=2.
Logo há dois pontos críticos: (0,0) e (2,0).

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas para a Hessiana:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}(2x - x^2 + y^2)\bigr) = e^{-x}\bigl(x^2 - y^2 -4x +2\bigr),
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y\,e^{-x}) = -2\,e^{-x},
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}(2x - x^2 + y^2)\bigr) = 2y\,e^{-x}.
O discriminante é
D = f_{xx}\,f_{yy} - (f_{xy})^2.

Passo 4

Avaliando em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0):
f_{xx}(0,0)=e^0(0-0-0+2)=2, \quad f_{yy}(0,0)=-2\,e^0=-2, \quad f_{xy}(0,0)=0.
Então
D(0,0)=2\cdot(-2)-0 = -4<0,
o que indica ponto de sela em (0,0).
  1. Em (2,0):
f_{xx}(2,0)=e^{-2}(4-0-8+2)=-2\,e^{-2}, \quad f_{yy}(2,0)=-2\,e^{-2}, \quad f_{xy}(2,0)=0.
Então
D(2,0)=(-2\,e^{-2})(-2\,e^{-2})=4\,e^{-4}>0
e f_{xx}(2,0)=-2\,e^{-2}<0. Logo há um máximo local em (2,0) com valor
f(2,0)=4\,e^{-2}.
Não surgiram valores de mínimo local.

Passo 5

Em termos de desenho, a superfície tem um “vale-sela” em (0,0) e um topo arredondado em (2,0). Para visualizar bem, um domínio razoável é x\in[-2,6], y\in[-3,3] e uma vista rotacionada em torno do eixo z em 45\circ.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Máximo local: (2,0) com f(2,0)=4\,e^{-2}.
Não há mínimo local.

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