Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para achar os pontos de máximo e mínimo locais e os pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana para classificar cada ponto crítico.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais:
Para pontos críticos, resolvemos
Substituindo
em
dá
Logo há dois pontos críticos:
e
.
Passo 3
Agora obtemos as segundas derivadas para a Hessiana:
O discriminante é
Passo 4
Avaliando em cada ponto crítico:
- Em
:
Então
o que indica ponto de sela em
.
- Em
:
Então
e
. Logo há um máximo local em
com valor
Não surgiram valores de mínimo local.
Passo 5
Em termos de desenho, a superfície tem um “vale-sela” em
e um topo arredondado em
. Para visualizar bem, um domínio razoável é
,
e uma vista rotacionada em torno do eixo
em
.
Resposta
Ponto de sela:
.
Máximo local: com
.
Não há mínimo local.
Máximo local:
Não há mínimo local.