Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
13. z=\sqrt{x{2}+y{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y e, em seguida, escrever o diferencial total dz. Isso envolve usar a regra da cadeia para funções compostas, pois
z = \sqrt{x^2 + y^2} = (x^2 + y^2)^{1/2}.

Passo 2

Defina u = x^2 + y^2, de modo que z = u^{1/2}. Pela regra da cadeia, temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\,u^{1/2}}\;\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\,u^{1/2}}\;\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot 2y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

O diferencial total dz é dado por
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \displaystyle dz = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\,dx + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\,dy

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