Calcule as Derivadas parciais e as diferenciais totais em cada item abaixo
14. z=\frac{x{2}-y{2}}{x{2}+y{2}}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
z = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}
e a diferencial total dz.
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente em funções de duas variáveis e a definição de diferencial total
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy.

Passo 2

Vamos escrever
f(x,y) = x^{2} - y^{2}, \quad g(x,y) = x^{2} + y^{2},
de modo que z = f/g. A derivada parcial em relação a x vem da regra
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{f_{x}\,g - f\,g_{x}}{g^{2}}.
Aqui
f_{x} = 2x, \quad g_{x} = 2x.
Logo,
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(2x)(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{2x x^{2} + 2x y^{2} - 2x x^{2} + 2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{4x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

De modo análogo, para a derivada parcial em y usamos
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{f_{y}\,g - f\,g_{y}}{g^{2}},
com
f_{y} = -2y, \quad g_{y} = 2y.
Então
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(-2y)(x^{2}+y^{2}) - (x^{2}-y^{2})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{-2y x^{2} -2y^{3} -2y x^{2} +2y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = -\frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora, pela definição de diferencial total, basta multiplicar cada parcial por seu diferencial:
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy = \frac{4x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx - \frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
dz = \frac{4x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dx - \frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy.

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