- Calcule as derivadas parciais
e
da função
e verifique que a igualdade
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Calcular a derivada parcial
(primeiro derivar em relação a , depois em relação a ). - Calcular a derivada parcial
(primeiro derivar em relação a , depois em relação a ). - Verificar que
.
Informações relevantes: a função é um produto de
pela exponencial
. Não há figura nem dados adicionais.
Passo 2
Breve revisão das regras que vou usar (bem mastigado):
- Definição: a derivada parcial
é a derivada de em que se diferencia apenas em relação a , tratando como constante. Analogamente para . - Regra do produto (para derivadas parciais): se
com e , então
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, etc.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
No nosso caso
, logo
e
. Assim
- Derivadas simples:
, . Se uma potência depende da outra variável (por exemplo quando derivamos em ), a derivada é zero porque a outra variável é tratada como constante.
Passo 3
Calcular
passo a passo usando
e
.
- Calcular
e :
- Aplicar a regra do produto:
- Colocar
em evidência (facilita as contas seguintes):
Passo 4
Calcular
. Vou derivar a expressão obtida para
Usar produto novamente, agora em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a : o termo é constante (zero), e
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e fatorando
:
Agora simplifico o que está no colchete:
Somando tudo:
Fator comum
aparece em dois termos:
logo
Portanto
Passo 5
Calcular
(para depois obter
). Começo novamente da definição
e derivo em relação a
.
- Calcular
e :
- Regra do produto:
- Colocando
em evidência:
Passo 6
Calcular
. Parto de
Derivo em relação a
usando produto:
-
. - Derivada de
em relação a : (porque , cuja derivada é ); o termo tem derivada zero.
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e fatorando
:
Desenvolvendo e reorganizando os termos (sem pular passos):
Somando:
Isto é exatamente a mesma combinação que apareceu em
. Assim
Passo 7
Comparação e comentário final: obtivemos explicitamente
Portanto
. Isso é coerente com o teorema de Clairaut (ou igualdade das derivadas mistas) sempre que
e suas derivadas parciais de segunda ordem sejam contínuas — o que acontece aqui, pois
é produto de polinômios por uma exponencial suave.