Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\cos \left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\cos\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}, &\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, &\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e indica o ponto P=(0,0). A pergunta é: verificar se f é contínua em P.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O valor de f no ponto P é f(0,0)=1.
  • Para pontos diferentes de P usamos a expressão \dfrac{\cos(x^{2}-y^{2})}{x^{2}+y^{2}}.
  • É preciso comparar o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) com f(0,0).]

Passo 2

Lembrete rápido (definição e estratégia para provar continuidade/discontinuidadede):
  • A função f é contínua em P se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=1.
  • Uma maneira prática de mostrar que a função NÃO é contínua é provar que o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe ou não é igual a 1. Para isso basta encontrar uma direção (um caminho ou uma sequência) por onde os valores de f(x,y) não tendem para 1.
  • Um teste simples: se ao aproximar por uma reta (por exemplo y=0 ou y=x) a expressão explode ou tende a um valor diferente de 1, então o limite não existe e f é descontínua em P.

Passo 3

Vamos avaliar f ao longo do eixo y=0. Para y=0 e x\neq0,
f(x,0)=\frac{\cos(x^{2}-0^{2})}{x^{2}+0^{2}}=\frac{\cos(x^{2})}{x^{2}}.
Queremos estudar o comportamento de \dfrac{\cos(x^{2})}{x^{2}} quando x\to0.

Passo 4

Análise do comportamento de \dfrac{\cos(x^{2})}{x^{2}} quando x\to0:
  • Sabemos que \cos é contínua e \cos(0)=1. Portanto \cos(x^{2})\to1 quando x\to0.
  • Assim, para x suficientemente pequeno, \cos(x^{2}) é positivo e fica uniformemente distante de zero. Para formalizar, use a continuidade: escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Como \cos é contínua em 0, existe \eta>0 tal que |t|<\eta implica |\cos t-1|<\tfrac{1}{2}, ou seja \cos t> \tfrac{1}{2}. Tomando t=x^{2}, isso dá: se |x|<\sqrt{\eta} então \cos(x^{2})>\tfrac{1}{2}.
  • Portanto, para 0<|x|<\sqrt{\eta} vale
f(x,0)=\frac{\cos(x^{2})}{x^{2}}>\frac{1}{2x^{2}}.
  • Mas \displaystyle\frac{1}{2x^{2}}\to +\infty quando x\to0. Logo f(x,0)\to +\infty ao longo da aproximação x\to0 com y=0.

Passo 5

Conclusão a partir do passo anterior:
  • Ao aproximar (x,y) para (0,0) pela reta y=0 os valores de f(x,y) tornam-se arbitrariamente grandes (tendem a +\infty). Em particular, não existe um limite finito \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
  • Como não há limite finito igual a f(0,0)=1, a função f não é contínua em P=(0,0). (Nem sequer existe limite finito; portanto não pode ser igual a 1.)

Resposta

A função não é contínua em P=(0,0).

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