- Considere a função
a) Determine e esboce o domínio de
;
b) Determine a imagem de
,
c) Determine as curvas de nível de
e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).
b) Determine a imagem de
c) Determine as curvas de nível de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- (a) Determinar e esboçar o domínio de
. - (b) Determinar a imagem (conjunto de valores) de
. - (c) Determinar as curvas de nível de
e desenhar (pelo menos) 3 curvas de nível.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A expressão tem um denominador
. - A função exponencial aparece com argumento
.
Passo 2
Entender onde a função está bem definida (domínio).
A única possível dificuldade é quando , pois aí aparece divisão por zero. Note:
A única possível dificuldade é quando
ou seja, apenas o ponto
anula o denominador. Em todos os outros pontos temos
e a expressão
é bem definida (um número real negativo), portanto a exponencial é bem definida.
Conclusão (domínio): o domínio é o plano real sem a origem:
Breve instrução de desenho do domínio: desenha-se o plano
e risca-se um pequeno ponto na origem; todo o resto do plano pertence ao domínio.
Passo 3
Determinar a imagem de
. Vou analisar o sinal e os limites da expressão dentro da exponencial.
Para qualquer
temos
. Então
Aplicando a função exponencial, que é positiva para qualquer argumento real, obtém-se
Portanto todos os valores de
estão estritamente entre
e
.
Agora verificar se os extremos
ou
são atingidos:
- Para tentar ter
seria necessário , ou seja , o que é impossível para . Logo não é valor da função. - Para tentar ter
é impossível porque a exponencial nunca é ; porém observamos o limite quando : como temos e então
Assim
é um valor-limite (não atingido no domínio), enquanto
é valor-limite quando
(pois
e
).
Conclusão (imagem): a imagem de
é o intervalo aberto
Observação didática rápida: se alguém definisse
por extensão contínua, então a nova função estendida teria imagem
, mas o enunciado original não inclui
.
Passo 4
Estudar as curvas de nível. Curva de nível para um valor fixo
é o conjunto
Como já vimos, só faz sentido escolher
. Vamos resolver a equação
Tomando logaritmo natural (lembrando que
é estritamente crescente e
quando
), obtemos
Multiplicando por
e invertendo,
Portanto cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
Explicando passo a passo o que isso significa:
- Usar coordenadas polares facilita a interpretação: escrevendo
temos , e a equação reduz a . - Como
para , o raio é real e positivo. - Quando
é pequeno (próximo de ), é grande e é pequeno: curvas de nível internas perto da origem correspondem a valores pequenos de . - Quando
se aproxima de , e : curvas de nível associadas a valores de próximos de são círculos muito grandes.
Passo 5
Construir explicitamente pelo menos três curvas de nível (escolhas convenientes para facilitar cálculo). Vou escolher valores de
do tipo
, que simplificam as contas, porque então
.
Escolhas e cálculos:
- Para
temos , então
- Para
temos , então
- Para
temos , então
Interpretação geométrica para o esboço:
- No plano
, desenhar a origem e três círculos concêntricos com raios , e . - Ao etiquetar cada círculo, escrever o valor de
correspondente: o círculo de raio corresponde a (valor pequeno de ), o de raio a , e o de raio a (valor mais próximo de ). - Mostrar com setas que conforme o raio cresce, o valor de
aumenta e tende a .
Passo 6
Resumo didático curto sobre procedimentos usados (para você repetir na prova):
- Para verificar domínio: procurar pontos que anulam denominadores ou tornam argumentos inválidos (aqui
dá problema). - Para imagem de funções com exponencial: analisar sinal do expoente e limites nas direções importantes (aqui
e ). - Para curvas de nível: igualar
a uma constante , manipular (aqui usando ) e preferir coordenadas polares quando surgir .
Resposta
(a)
(b)
(c) As curvas de nível para
são os círculos
Exemplos: para
temos
; para
temos
; para
temos
.