1. Considere a função
f(x, y)=e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}
a) Determine e esboce o domínio de f;
b) Determine a imagem de f,
c) Determine as curvas de nível de f e faça o gráfico das mesmas (pelo menos 3 curvas de nível).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}
e pede três coisas:
  • (a) Determinar e esboçar o domínio de f.
  • (b) Determinar a imagem (conjunto de valores) de f.
  • (c) Determinar as curvas de nível de f e desenhar (pelo menos) 3 curvas de nível.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A expressão tem um denominador x^{2}+y^{2}.
  • A função exponencial aparece com argumento -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 2

Entender onde a função está bem definida (domínio).
A única possível dificuldade é quando x^{2}+y^{2}=0, pois aí aparece divisão por zero. Note:
x^{2}+y^{2}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0\\ \text{e}\\ y=0,
ou seja, apenas o ponto (0,0) anula o denominador. Em todos os outros pontos temos x^{2}+y^{2}>0 e a expressão -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}} é bem definida (um número real negativo), portanto a exponencial é bem definida.
Conclusão (domínio): o domínio é o plano real sem a origem:
\mathop{\mathrm{Dom}}(f)=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Breve instrução de desenho do domínio: desenha-se o plano xy e risca-se um pequeno ponto na origem; todo o resto do plano pertence ao domínio.

Passo 3

Determinar a imagem de f. Vou analisar o sinal e os limites da expressão dentro da exponencial.
Para qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} temos x^{2}+y^{2}>0. Então
\frac{1}{x^{2}+y^{2}}>0\quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{x^{2}+y^{2}}<0.
Aplicando a função exponencial, que é positiva para qualquer argumento real, obtém-se
0<e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}<1.
Portanto todos os valores de f estão estritamente entre 0 e 1.
Agora verificar se os extremos 0 ou 1 são atingidos:
  • Para tentar ter f(x,y)=1 seria necessário -\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}=0, ou seja \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}=0, o que é impossível para x^{2}+y^{2}>0. Logo 1 não é valor da função.
  • Para tentar ter f(x,y)=0 é impossível porque a exponencial nunca é 0; porém observamos o limite quando (x,y)\to(0,0): como x^{2}+y^{2}\to0^{+} temos \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\to+\infty e então
e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\to e^{-\infty}=0.
Assim 0 é um valor-limite (não atingido no domínio), enquanto 1 é valor-limite quando \|(x,y)\|\to\infty (pois \dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\to0^{+} e e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}\to 1^{-}).
Conclusão (imagem): a imagem de f é o intervalo aberto
\mathrm{Im}(f)=(0,1).
Observação didática rápida: se alguém definisse f(0,0)=0 por extensão contínua, então a nova função estendida teria imagem [0,1), mas o enunciado original não inclui (0,0).

Passo 4

Estudar as curvas de nível. Curva de nível para um valor fixo k é o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} \mid f(x,y)=k\}.
Como já vimos, só faz sentido escolher k\in(0,1). Vamos resolver a equação
e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}=k,\qquad 0<k<1.
Tomando logaritmo natural (lembrando que \ln é estritamente crescente e \ln k<0 quando 0<k<1), obtemos
-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=\ln k.
Multiplicando por -1 e invertendo,
\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-\ln k \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=\frac{1}{-\ln k}.
Portanto cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
r=\sqrt{\frac{1}{-\ln k}}.
Explicando passo a passo o que isso significa:
  • Usar coordenadas polares facilita a interpretação: escrevendo r^{2}=x^{2}+y^{2} temos f(r)=e^{-1/r^{2}}, e a equação f(r)=k reduz a r^{2}=1/(-\ln k).
  • Como -\ln k>0 para 0<k<1, o raio é real e positivo.
  • Quando k é pequeno (próximo de 0), -\ln k é grande e r é pequeno: curvas de nível internas perto da origem correspondem a valores pequenos de f.
  • Quando k se aproxima de 1^{-}, -\ln k\to 0^{+} e r\to+\infty: curvas de nível associadas a valores de f próximos de 1 são círculos muito grandes.

Passo 5

Construir explicitamente pelo menos três curvas de nível (escolhas convenientes para facilitar cálculo). Vou escolher valores de k do tipo k=e^{-a}, que simplificam as contas, porque então -\ln k=a.
Escolhas e cálculos:
  • Para k_{1}=e^{-1} temos -\ln k_{1}=1, então
x^{2}+y^{2}=1\quad\text{(círculo de raio }1\text{).}í
  • Para k_{2}=e^{-4} temos -\ln k_{2}=4, então
x^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}\quad\text{(círculo de raio }1/2\text{).}í
  • Para k_{3}=e^{-1/4} temos -\ln k_{3}=1/4, então
x^{2}+y^{2}=4\quad\text{(círculo de raio }2\text{).}í
Interpretação geométrica para o esboço:
  • No plano xy, desenhar a origem e três círculos concêntricos com raios 1/2, 1 e 2.
  • Ao etiquetar cada círculo, escrever o valor de k correspondente: o círculo de raio 1/2 corresponde a k=e^{-4} (valor pequeno de f), o de raio 1 a k=e^{-1}, e o de raio 2 a k=e^{-1/4} (valor mais próximo de 1).
  • Mostrar com setas que conforme o raio cresce, o valor de f aumenta e tende a 1.

Passo 6

Resumo didático curto sobre procedimentos usados (para você repetir na prova):
  • Para verificar domínio: procurar pontos que anulam denominadores ou tornam argumentos inválidos (aqui x^{2}+y^{2}=0 dá problema).
  • Para imagem de funções com exponencial: analisar sinal do expoente e limites nas direções importantes (aqui r\to0^{+} e r\to\infty).
  • Para curvas de nível: igualar f(x,y) a uma constante k, manipular (aqui usando \ln) e preferir coordenadas polares quando surgir x^{2}+y^{2}.

Resposta

(a) \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}
(b) (0,1)
(c) As curvas de nível para k\in(0,1) são os círculos
x^{2}+y^{2}=\frac{1}{-\ln k}.
Exemplos: para k=e^{-4} temos x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{4}; para k=e^{-1} temos x^{2}+y^{2}=1; para k=e^{-1/4} temos x^{2}+y^{2}=4.

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