Calcule as derivadas parciais de f
f(x, y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é derivada parcial de função de duas variáveis, e vamos usar a regra da cadeia observando que
f(x,y)=(x^{2}-y^{2})^{-1}.

Passo 2

Para calcular \partial f/\partial x, aplicamos a regra da cadeia tratando y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{dx}(x^{2}-y^{2})^{-1} =-1\,(x^{2}-y^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-y^{2}) =-1\,(x^{2}-y^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{2x}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Passo 3

Para calcular \partial f/\partial y, agora tratamos x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y} =-1\,(x^{2}-y^{2})^{-2}\cdot\frac{d}{dy}(x^{2}-y^{2}) =-1\,(x^{2}-y^{2})^{-2}\cdot(-2y) =\frac{2y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{(x^{2}-y^{2})^{2}} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{(x^{2}-y^{2})^{2}}

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