Calcule as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} para as funções abaixo:
f(x y)=x \ln (x y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = x \ln(xy)
e pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber que
\frac{d}{du}\ln(u)=\frac1u.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto a x\cdot\ln(xy):
\frac{\partial f}{\partial x} = 1\cdot\ln(xy) + x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\ln(xy)\bigr] = \ln(xy) + x\cdot\frac{1}{xy}\,y = \ln(xy) + 1.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x como constante e derivamos só \ln(xy):
\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{d}{dy}\bigl[\ln(xy)\bigr] = x\cdot\frac{1}{xy}\,x = \frac{x}{y}.

Passo 4

Para \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=\ln(xy)+1 em relação a x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{d}{dx}\bigl[\ln(xy)\bigr] = \frac{1}{xy}\,y = \frac{1}{x}.

Passo 5

Para \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, derivamos \frac{\partial f}{\partial y}=\tfrac{x}{y} em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(y^{-1}\bigr) = x\cdot(-1)\,y^{-2} = -\frac{x}{y^2}.

Passo 6

Para a mista \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, derivamos \frac{\partial f}{\partial x}=\ln(xy)+1 em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{d}{dy}\bigl[\ln(xy)\bigr] = \frac{1}{xy}\,x = \frac{1}{y}.
Como f é duas vezes contínua, vale também \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac1y.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \ln(xy) + 1, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y}, \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{x}{y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{1}{y}.

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