Calcule as derivadas parciais frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e frac{\partial f}{\partial z} para:
f(x, y, z)=e^{x y z} \ln (z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y,z)=e^{xyz}\ln(z). O conteúdo aqui envolve a regra do produto e a regra da cadeia, pois f é produto de u(x,y,z)=e^{xyz} e v(x,y,z)=\ln(z). A partir de agora, vamos calcular \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z usando essas regras.

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} aplicamos a regra do produto: u=e^{xyz}, v=\ln(z). \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=e^{xyz}\cdot\frac{\partial(xyz)}{\partial x}=e^{xyz}\,y z e \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=0.
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial u}{\partial x}v+u\frac{\partial v}{\partial x} =(e^{xyz}yz)(\ln(z))+e^{xyz}\cdot0 =yz\,e^{xyz}\ln(z).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} a ideia é análoga: \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=e^{xyz}\cdot xz e \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=0.
\frac{\partial f}{\partial y} =(e^{xyz}xz)(\ln(z))+e^{xyz}\cdot0 =xz\,e^{xyz}\ln(z).

Passo 4

Para \frac{\partial f}{\partial z} usamos de novo a regra do produto, mas agora \frac{\partial v}{\partial z}=1/z e \displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}=e^{xyz}\cdot xy:
\frac{\partial f}{\partial z} =(e^{xyz}xy)(\ln(z))+e^{xyz}\cdot\frac{1}{z} =e^{xyz}\bigl(xy\ln(z)+\tfrac{1}{z}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=yz\,e^{xyz}\ln(z) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=xz\,e^{xyz}\ln(z) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=e^{xyz}\bigl(xy\ln(z)+\tfrac{1}{z}\bigr)

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