Calcule o limite, caso exista.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y(x-y)}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y\,(x-y)}{\sqrt{x^4+y^4}}.
O tema é limite de função de duas variáveis. Para mostrar que existe e achar seu valor, vamos usar desigualdades e o teorema do confronto, de modo a eliminar qualquer dependência de trajetória.

Passo 2

Tomando o valor absoluto e usando \lvert x-y\rvert \le \lvert x\rvert+\lvert y\rvert, obtemos
\left|\frac{x\,y\,(x-y)}{\sqrt{x^4+y^4}}\right| = \frac{\lvert x\,y\rvert\,\lvert x-y\rvert}{\sqrt{x^4+y^4}} \le \frac{\lvert x\,y\rvert(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert)}{\sqrt{x^4+y^4}} = \frac{\lvert x\rvert^2\lvert y\rvert + \lvert x\rvert\lvert y\rvert^2}{\sqrt{x^4+y^4}}.
Defina
A=\frac{\lvert x\rvert^2\lvert y\rvert}{\sqrt{x^4+y^4}}, \quad B=\frac{\lvert x\rvert\lvert y\rvert^2}{\sqrt{x^4+y^4}}.
Como \sqrt{x^4+y^4}\ge \lvert x\rvert^2, segue
A\le \frac{\lvert x\rvert^2\lvert y\rvert}{\lvert x\rvert^2}=\lvert y\rvert.
Analogamente, \sqrt{x^4+y^4}\ge \lvert y\rvert^2 leva a
B\le \frac{\lvert x\rvert\lvert y\rvert^2}{\lvert y\rvert^2}=\lvert x\rvert.
Portanto
\left|\frac{x\,y\,(x-y)}{\sqrt{x^4+y^4}}\right|\le \lvert x\rvert+\lvert y\rvert.

Passo 3

Quando (x,y)\to(0,0), tem-se \lvert x\rvert+\lvert y\rvert\to 0. Pelo teorema do confronto, o limite da função também é zero.

Resposta

0

Exercícios relacionados