Calcule as derivadas parciais frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} e frac{\partial f}{\partial z} para:
f(x, y, z)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
f(x,y,z)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)
e queremos as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z. Para isso, vamos usar a regra da cadeia: se f(u)=\operatorname{sen}(u), então f'(u)=\cos(u), e em seguida multiplicamos pela derivada do argumento u.

Passo 2

Defina
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Então
\frac{\partial u}{\partial x}=2x.
Aplicando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\cos\bigl(u(x,y,z)\bigr)\,\frac{\partial u}{\partial x} =2x\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 3

De modo análogo,
\frac{\partial u}{\partial y}=2y,
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\frac{\partial f}{\partial y} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\cdot 2y =2y\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Finalmente,
\frac{\partial u}{\partial z}=2z,
e
\frac{\partial f}{\partial z} =\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,\cdot 2z =2z\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial z}=2z\,\cos\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

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