Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função dada é
Então a única pergunta explícita é: calcular
.
Passo 2
O que significa
?
A derivada parcial de em relação a
mede como
varia quando só alteramos
, mantendo
e
fixos. Formalmente,
A derivada parcial de
onde
é um pequeno incremento em
. Na prática de cálculo, é mais simples: tratamos
e
como constantes e derivamos em relação a
normalmente.
Passo 3
Regras e técnicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
- Constante multiplicativa: se uma expressão tem um fator que não depende de
, esse fator sai como constante na derivação. - Regras básicas:
-
. -
(regra da potência: ). -
.
-
Aqui,
e
são tratadas como constantes ao derivar em relação a
.
Passo 4
Aplicando termo a termo. Escrevendo os termos da função:
-
Derivada do termo A:
.- Aqui
é constante (não depende de ), então
- Aqui
-
Derivada do termo B:
.- Esse termo não depende de
(é uma constante em relação a ), logo
- Esse termo não depende de
-
Derivada do termo C:
.- Aqui
é constante multiplicativa e , portanto
- Aqui
Passo 5
Somando as derivadas dos termos (por linearidade):
Podemos também escrever fatorado como
se isso ajudar na visualização.