Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
\frac{\partial w}{\partial x}, w=x y^{2}+y z^{2}+x^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de w em relação a x. A função dada é
w = x\,y^{2} + y\,z^{2} + x^{2}\,y.
Então a única pergunta explícita é: calcular \dfrac{\partial w}{\partial x}.

Passo 2

O que significa \dfrac{\partial w}{\partial x}?
A derivada parcial de w(x,y,z) em relação a x mede como w varia quando só alteramos x, mantendo y e z fixos. Formalmente,
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y,z)-w(x,y,z)}{h},
onde h é um pequeno incremento em x. Na prática de cálculo, é mais simples: tratamos y e z como constantes e derivamos em relação a x normalmente.

Passo 3

Regras e técnicas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade: a derivada parcial de uma soma é a soma das derivadas parciais.
  • Constante multiplicativa: se uma expressão tem um fator que não depende de x, esse fator sai como constante na derivação.
  • Regras básicas:
    • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x (regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
    • \dfrac{d}{dx}(\text{constante})=0.
Aqui, y e z são tratadas como constantes ao derivar em relação a x.

Passo 4

Aplicando termo a termo. Escrevendo os termos da função:
w = \underbrace{x\,y^{2}}_{\text{termo A}} \;+\; \underbrace{y\,z^{2}}_{\text{termo B}} \;+\; \underbrace{x^{2}\,y}_{\text{termo C}}.
  • Derivada do termo A: x\,y^{2}.
    • Aqui y^{2} é constante (não depende de x), então
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr)=y^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x)=y^{2}\cdot 1 = y^{2}.
  • Derivada do termo B: y\,z^{2}.
    • Esse termo não depende de x (é uma constante em relação a x), logo
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,z^{2}\bigr)=0.
  • Derivada do termo C: x^{2}\,y.
    • Aqui y é constante multiplicativa e \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, portanto
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\,y\bigr)=y\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y\cdot 2x = 2x\,y.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (por linearidade):
\frac{\partial w}{\partial x}=y^{2}+0+2x\,y = y^{2}+2x\,y.
Podemos também escrever fatorado como
\frac{\partial w}{\partial x}=y\bigl(y+2x\bigr),
se isso ajudar na visualização.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=y^{2}+2x\,y

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