Verifique as igualdades abaixo com relação às funções dadas:
\mathrm{x} \frac{\partial w}{\partial x}+\mathrm{y} \frac{\partial w}{\partial y}=5 \mathrm{w}, para a função \mathrm{w}=\mathrm{x}^{3} \mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{xy}^{4}+3 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade a ser verificada
\mathrm{x}\,\frac{\partial w}{\partial x}+\mathrm{y}\,\frac{\partial w}{\partial y}=5\,\mathrm{w}
para a função
\mathrm{w}=\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{xy}^{4}+3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.
O que se pede é mostrar, por cálculo, que ao calcular as derivadas parciais de \mathrm{w} em relação a \mathrm{x} e a \mathrm{y}, multiplicá-las por \mathrm{x} e por \mathrm{y} respectivamente e somar, obtém-se exatamente 5 vezes \mathrm{w}.

Passo 2

Antes de começar a calcular, vamos lembrar de conceitos e regras que usaremos:
  • Derivada parcial \frac{\partial w}{\partial x} significa derivar \mathrm{w} tratando \mathrm{y} como constante. Analogamente, \frac{\partial w}{\partial y} deriva \mathrm{w} tratando \mathrm{x} como constante.
  • Regra do poder: a derivada de u(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{n} é u'(\mathrm{x})=n\mathrm{x}^{n-1}. Se há um fator que é constante no momento da diferenciação (por ex. \mathrm{y}^2 quando diferenciamos em relação a \mathrm{x}), ele permanece multiplicando a derivada.
  • Multiplicação por uma constante e soma de termos: a derivada é linear, então deriva-se termo a termo.
    Vou aplicar essas regras termo a termo na expressão de \mathrm{w}.

Passo 3

Calcular \frac{\partial w}{\partial x} termo a termo.
A função é
\mathrm{w}=\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{xy}^{4}+3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.
Derivando cada termo com respeito a \mathrm{x} (mantendo \mathrm{y} constante):
  • Para \mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}: \mathrm{y}^{2} é constante, então a derivada é 3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2} pela regra do poder.
  • Para -2\mathrm{xy}^{4}: -2\mathrm{y}^{4} é a constante multiplicando \mathrm{x}, então a derivada é -2\mathrm{y}^{4}.
  • Para 3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}: 3\mathrm{y}^{3} é constante, derivada de \mathrm{x}^{2} é 2\mathrm{x}, então o resultado é 3\cdot 2\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}=6\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial x}=3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{y}^{4}+6\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}.

Passo 4

Multiplicar por \mathrm{x} o resultado do passo anterior (parte esquerda da igualdade).
\mathrm{x}\,\frac{\partial w}{\partial x} = \mathrm{x}\left(3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{y}^{4}+6\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}\right).
Distribuindo \mathrm{x}:
\mathrm{x}\,\frac{\partial w}{\partial x}=3\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}+6\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial w}{\partial y} termo a termo (derivando em relação a \mathrm{y}, com \mathrm{x} constante).
Voltando à
\mathrm{w}=\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{xy}^{4}+3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3},
derivamos cada termo com relação a \mathrm{y}:
  • Para \mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}: \mathrm{x}^{3} é constante, derivada de \mathrm{y}^{2} é 2\mathrm{y}, então dá 2\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}.
  • Para -2\mathrm{xy}^{4}: -2\mathrm{x} é constante, derivada de \mathrm{y}^{4} é 4\mathrm{y}^{3}, então dá -8\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}.
  • Para 3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}: 3\mathrm{x}^{2} é constante, derivada de \mathrm{y}^{3} é 3\mathrm{y}^{2}, então dá 9\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2}.
Assim
\frac{\partial w}{\partial y}=2\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}-8\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}+9\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2}.

Passo 6

Multiplicar por \mathrm{y} o resultado do passo anterior (segunda parte da soma).
\mathrm{y}\,\frac{\partial w}{\partial y} = \mathrm{y}\left(2\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}-8\mathrm{x}\mathrm{y}^{3}+9\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{2}\right).
Distribuindo \mathrm{y}:
\mathrm{y}\,\frac{\partial w}{\partial y}=2\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-8\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}+9\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.

Passo 7

Somar os dois termos encontrados: \mathrm{x}\frac{\partial w}{\partial x} (Passo 4) e \mathrm{y}\frac{\partial w}{\partial y} (Passo 6).
Somando termo a termo:
  • Coeficiente de \mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}: 3+2=5, logo 5\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}.
  • Coeficiente de \mathrm{x}\mathrm{y}^{4}: -2-8=-10, logo -10\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}.
  • Coeficiente de \mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}: 6+9=15, logo 15\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.
Portanto
\mathrm{x}\frac{\partial w}{\partial x}+\mathrm{y}\frac{\partial w}{\partial y} =5\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-10\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}+15\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}.

Passo 8

Fatorar 5 em evidência no resultado do passo anterior:
5\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-10\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}+15\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3} =5\left(\mathrm{x}^{3}\mathrm{y}^{2}-2\mathrm{x}\mathrm{y}^{4}+3\mathrm{x}^{2}\mathrm{y}^{3}\right).
Reconhecendo a expressão entre parênteses como justamente \mathrm{w}, obtemos
\mathrm{x}\frac{\partial w}{\partial x}+\mathrm{y}\frac{\partial w}{\partial y}=5\,\mathrm{w}.
Observação rápida (útil para prova): cada monômio de \mathrm{w} tem grau total 3+2=5, 1+4=5 e 2+3=5. Logo \mathrm{w} é homogênea de grau 5 e a igualdade acima também decorre diretamente do teorema de Euler para funções homogêneas (mas a verificação por derivadas termo a termo é a forma segura em prova).

Resposta

\mathrm{x}\frac{\partial w}{\partial x}+\mathrm{y}\frac{\partial w}{\partial y}=5\mathrm{w}

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