Verifique as igualdades abaixo com relação às funções dadas:
, para a função
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade a ser verificada
para a função
O que se pede é mostrar, por cálculo, que ao calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
, multiplicá-las por
e por
respectivamente e somar, obtém-se exatamente
vezes
.
Passo 2
Antes de começar a calcular, vamos lembrar de conceitos e regras que usaremos:
- Derivada parcial
significa derivar tratando como constante. Analogamente, deriva tratando como constante. - Regra do poder: a derivada de
é . Se há um fator que é constante no momento da diferenciação (por ex. quando diferenciamos em relação a ), ele permanece multiplicando a derivada. - Multiplicação por uma constante e soma de termos: a derivada é linear, então deriva-se termo a termo.
Vou aplicar essas regras termo a termo na expressão de.
Passo 3
Calcular
termo a termo.
A função é
Derivando cada termo com respeito a
(mantendo
constante):
- Para
: é constante, então a derivada é pela regra do poder. - Para
: é a constante multiplicando , então a derivada é . - Para
: é constante, derivada de é , então o resultado é .
Portanto
Passo 4
Multiplicar por
o resultado do passo anterior (parte esquerda da igualdade).
Distribuindo
:
Passo 5
Calcular
termo a termo (derivando em relação a
, com
constante).
Voltando à
derivamos cada termo com relação a
:
- Para
: é constante, derivada de é , então dá . - Para
: é constante, derivada de é , então dá . - Para
: é constante, derivada de é , então dá .
Assim
Passo 6
Multiplicar por
o resultado do passo anterior (segunda parte da soma).
Distribuindo
:
Passo 7
Somar os dois termos encontrados:
(Passo 4) e
(Passo 6).
Somando termo a termo:
- Coeficiente de
: , logo . - Coeficiente de
: , logo . - Coeficiente de
: , logo .
Portanto
Passo 8
Fatorar
em evidência no resultado do passo anterior:
Reconhecendo a expressão entre parênteses como justamente
, obtemos
Observação rápida (útil para prova): cada monômio de
tem grau total
,
e
. Logo
é homogênea de grau
e a igualdade acima também decorre diretamente do teorema de Euler para funções homogêneas (mas a verificação por derivadas termo a termo é a forma segura em prova).