Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais
e
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma soma de termos:
, e . - As incógnitas são
e . - Devemos encontrar duas derivadas parciais: uma em relação a
e outra em relação a .
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação intuitiva e regra básica).
- Derivada parcial em relação a
, , significa: diferenciar a função tratando como constante. Tudo o que não depende de age como constante. - Derivada parcial em relação a
, , significa: diferenciar a função tratando como constante.
Regra básica que vamos usar (regra da potência e da constante): - Se
, então . - Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo
, então . - Para um produto onde um fator é a variável de diferenciação e o outro é constante (no caso de derivada parcial), trata-se como constante multiplicando.
Passo 3
Aplicando as regras termo a termo: identificar cada termo da função e como ele depende de
e
.
- Termo 1:
. Depende de apenas. - Termo 2:
. Depende de e ; ao derivar em relação a , será tratada como constante; ao derivar em relação a , será tratada como constante. - Termo 3:
. É constante (não depende de nem de ).
Passo 4
Calcular
passo a passo.
- Derivada de
em relação a : usar a regra da potência e o fator constante .
- Derivada de
em relação a : tratar como constante; então é como derivar , com constante multiplicando.
- Derivada de
em relação a : constante, derivada zero.
- Somando os resultados termo a termo:
Opcional (fatorando para ficar mais compacto):
Passo 5
Calcular
passo a passo.
- Derivada de
em relação a : como não depende de , trata-se de constante; derivada é zero.
- Derivada de
em relação a : aqui é constante (em relação a ), então é igual a .
- Derivada de
em relação a : zero.
- Somando:
Passo 6
Dica rápida para a prova (prática e checagem):
- Sempre diferencie termo a termo.
- Ao derivar em relação a
, trate como constante; ao derivar em relação a , trate como constante. - Verifique dimensões simples ou faça teste numérico: por exemplo, substitua
, na função e nas derivadas para ver se fazem sentido aproximado (não obrigatório, mas ajuda a conferir).
Força aí — você já tem a receita para qualquer polinômio em duas variáveis!