Calcule as derivadas parciais das funções abaixo:
\frac{\partial f}{\partial x}, \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=7 \mathrm{x}^{2}+5 \mathrm{x}^{2} \mathrm{y}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=7x^{2}+5x^{2}y+2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma soma de termos: 7x^{2}, 5x^{2}y e 2.
  • As incógnitas são x e y.
  • Devemos encontrar duas derivadas parciais: uma em relação a x e outra em relação a y.

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação intuitiva e regra básica).
  • Derivada parcial em relação a x, \dfrac{\partial}{\partial x}, significa: diferenciar a função tratando y como constante. Tudo o que não depende de x age como constante.
  • Derivada parcial em relação a y, \dfrac{\partial}{\partial y}, significa: diferenciar a função tratando x como constante.
    Regra básica que vamos usar (regra da potência e da constante):
  • Se g(x)=x^{n}, então g'(x)=n x^{n-1}.
  • Se houver um fator constante multiplicando, por exemplo c\cdot h(x), então (c\cdot h(x))' = c\cdot h'(x).
  • Para um produto onde um fator é a variável de diferenciação e o outro é constante (no caso de derivada parcial), trata-se como constante multiplicando.

Passo 3

Aplicando as regras termo a termo: identificar cada termo da função e como ele depende de x e y.
  • Termo 1: 7x^{2}. Depende de x apenas.
  • Termo 2: 5x^{2}y. Depende de x e y; ao derivar em relação a x, y será tratada como constante; ao derivar em relação a y, x^{2} será tratada como constante.
  • Termo 3: 2. É constante (não depende de x nem de y).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo.
  • Derivada de 7x^{2} em relação a x: usar a regra da potência e o fator constante 7.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(7x^{2}\bigr)=7\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=7\cdot(2x)=14x.
  • Derivada de 5x^{2}y em relação a x: tratar y como constante; então é como derivar 5y\cdot x^{2}, com 5y constante multiplicando.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5x^{2}y\bigr)=5y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=5y\cdot(2x)=10xy.
  • Derivada de 2 em relação a x: constante, derivada zero.
\frac{\partial}{\partial x}(2)=0.
  • Somando os resultados termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}=14x+10xy+0=14x+10xy.
Opcional (fatorando para ficar mais compacto):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x(7+5y).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo.
  • Derivada de 7x^{2} em relação a y: como 7x^{2} não depende de y, trata-se de constante; derivada é zero.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(7x^{2}\bigr)=0.
  • Derivada de 5x^{2}y em relação a y: aqui x^{2} é constante (em relação a y), então é igual a 5x^{2}\cdot \dfrac{d}{dy}(y).
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5x^{2}y\bigr)=5x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)=5x^{2}\cdot 1=5x^{2}.
  • Derivada de 2 em relação a y: zero.
\frac{\partial}{\partial y}(2)=0.
  • Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=0+5x^{2}+0=5x^{2}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (prática e checagem):
  • Sempre diferencie termo a termo.
  • Ao derivar em relação a x, trate y como constante; ao derivar em relação a y, trate x como constante.
  • Verifique dimensões simples ou faça teste numérico: por exemplo, substitua x=1, y=1 na função e nas derivadas para ver se fazem sentido aproximado (não obrigatório, mas ajuda a conferir).
    Força aí — você já tem a receita para qualquer polinômio em duas variáveis!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=14x+10xy=2x(7+5y)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=5x^{2}

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