Calcule as derivadas parciais:
h_{x}(x, y); onde h(x, y)=\operatorname{sen} x \cos 7 y

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:\n
  • Pede-se calcular a derivada parcial \,h_x(x,y)\, (derivada de h em relação a x, mantendo y fixo).\n
  • A função fornecida é \displaystyle h(x,y)=\sin x\cos(7y).\n
  • Informação útil: \cos(7y) depende só de y; ao derivar em relação a x trata-se como constante.

Passo 2

Definição e interpretação da derivada parcial (passo didático):\n
A derivada parcial de h em relação a x é definida por
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{h(x+\Delta x,y)-h(x,y)}{\Delta x}.
Isto significa: varia-se x um pouquinho e calcula-se a taxa de variação de h por unidade de x, enquanto y permanece fixo. Na prática, tratamos qualquer fator que dependa só de y como constante ao diferenciar em relação a x.

Passo 3

Reconhecer estrutura produto e tratar constantes:\n
A função pode ser vista como produto de duas funções, uma que depende só de x e outra só de y:
h(x,y)=\underbrace{\sin x}_{\text{só em }x}\cdot\underbrace{\cos(7y)}_{\text{só em }y}.óó
Ao diferenciar em relação a x, \cos(7y) é uma constante (porque y está fixo).

Passo 4

Derivada básica usada: \sin x\mapsto\cos x\n
Regra padrão de derivação: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Para quem quiser uma rápida demonstração usando limites:
\frac{d}{dx}\sin x=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h} =\sin x\cdot 0+\cos x\cdot 1=\cos x,
onde se usou \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 5

Aplicar a diferenciação parcial ao produto (com constante):\n
Como \cos(7y) é constante em x,
\frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\biggl(\frac{d}{dx}\sin x\biggr)\cdot\cos(7y)=\cos x\cdot\cos(7y).

Passo 6

Interpretação final e exemplo numérico para intuição:\n
A derivada parcial indica quanto h cresce se aumentarmos x um pouco, mantendo y fixo. Por exemplo, em (x,y)=(0,0) temos \displaystyle h_x(0,0)=\cos 0\cdot\cos(0)=1\cdot1=1.\n
Força aí — a regra usada foi simples: ao derivar em relação a x tratou-se \cos(7y) como constante e derivou-se \sin x para \cos x.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}(x,y)=\cos x\cos(7y)

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