Calcule da derivada pela definição:
; onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de
em relação a
. Dados do problema:
- A função é
. - O que se quer:
.
Passo 2
Definição que vamos usar (derivada parcial pela definição): a derivada parcial de
em relação a
num ponto
é o limite
Explicando devagar: aqui
é um pequeno incremento aplicado apenas à variável
. A variável
fica fixa (constante) enquanto fazemos o limite. A razão
é a taxa média de variação de
quando só
varia; o limite quando
dá a taxa instantânea — a derivada parcial.
Passo 3
Calcular
. Substituindo
por
na expressão de
:
Agora expandir os termos quadráticos e lineares:
portanto
Distribuindo
:
Passo 4
Formar a diferença
. Lembrando que
, subtraímos:
Cancelam os termos iguais
,
e
, sobrando:
Passo 5
Dividir a diferença por
(como manda a definição):
Fatorando
no numerador ou simplificando termo a termo:
Aqui foi usada a propriedade de divisão por
:
,
,
. Note que
é tratado como constante durante todo o processo.
Passo 6
Tomar o limite quando
:
Como
não depende de
e
quando
, o limite vale
Passo 7
Comentário prático (jeito rápido que dá na prova): em derivadas parciais costuma-se tratar as outras variáveis como constantes. Assim, sem fazer todo o limite, identifica-se:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
em relação a é (porque é constante); - derivada de
em relação a é (não depende de ).
Somando:, que bate com o resultado pela definição.
Passo 8
Exemplo curto para fixar: para
, então
. A ideia é sempre: diferenciar em relação ao
tratando
como constante.