Calcule da derivada pela definição:
\frac{\partial}{\partial x} f(x, y); onde f(x, y)=3 x^{2}+5 x y+7 y^{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de f em relação a x. Dados do problema:
  • A função é f(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{3}.
  • O que se quer: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}f(x,y).

Passo 2

Definição que vamos usar (derivada parcial pela definição): a derivada parcial de f em relação a x num ponto (x,y) é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Explicando devagar: aqui h é um pequeno incremento aplicado apenas à variável x. A variável y fica fixa (constante) enquanto fazemos o limite. A razão \dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} é a taxa média de variação de f quando só x varia; o limite quando h\to0 dá a taxa instantânea — a derivada parcial.

Passo 3

Calcular f(x+h,y). Substituindo x por x+h na expressão de f:
f(x+h,y)=3(x+h)^{2}+5(x+h)y+7y^{3}.
Agora expandir os termos quadráticos e lineares:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2},
portanto
f(x+h,y)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+5xy+5hy+7y^{3}.
Distribuindo 3:
f(x+h,y)=3x^{2}+6xh+3h^{2}+5xy+5hy+7y^{3}.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h,y)-f(x,y). Lembrando que f(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{3}, subtraímos:
\begin{aligned} f(x+h,y)-f(x,y) &= \bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}+5xy+5hy+7y^{3}\bigr)\\\ &\quad -\bigl(3x^{2}+5xy+7y^{3}\bigr). \end{aligned}
Cancelam os termos iguais 3x^{2}, 5xy e 7y^{3}, sobrando:
f(x+h,y)-f(x,y)=6xh+3h^{2}+5hy.

Passo 5

Dividir a diferença por h (como manda a definição):
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}+5hy}{h}.
Fatorando h no numerador ou simplificando termo a termo:
\frac{6xh+3h^{2}+5hy}{h}=6x+3h+5y.
Aqui foi usada a propriedade de divisão por h: \dfrac{6xh}{h}=6x, \dfrac{3h^{2}}{h}=3h, \dfrac{5hy}{h}=5y. Note que y é tratado como constante durante todo o processo.

Passo 6

Tomar o limite quando h\to0:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\bigl(6x+3h+5y\bigr).
Como 6x+5y não depende de h e 3h\to0 quando h\to0, o limite vale
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+5y.

Passo 7

Comentário prático (jeito rápido que dá na prova): em derivadas parciais costuma-se tratar as outras variáveis como constantes. Assim, sem fazer todo o limite, identifica-se:
  • derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x;
  • derivada de 5xy em relação a x é 5y (porque y é constante);
  • derivada de 7y^{3} em relação a x é 0 (não depende de x).
    Somando: 6x+5y, que bate com o resultado pela definição.

Passo 8

Exemplo curto para fixar: para g(x,y)=x^{2}y+4y, então \dfrac{\partial g}{\partial x}=2xy+0=2xy. A ideia é sempre: diferenciar em relação ao x tratando y como constante.

Resposta

6x+5y

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