Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial w}{\partial x}; onde w(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial em relação a x da função
w(x,y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é uma razão entre duas expressões em x e y.
  • Devemos tratar y como constante ao derivar em relação a x.
  • O domínio exige y^{2}-x^{2}\neq0 (denominador não pode ser zero).

Passo 2

O que é derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial x}?
Significa: variar x e manter y fixo; então derivar a expressão como se fosse uma função de x com coeficientes que podem depender de y. Formalmente, é o limite
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y)-w(x,y)}{h},
mas na prática usamos regras de derivação (soma, produto, quociente) considerando y constante.

Passo 3

Método escolhido: usar a regra do quociente.
Regra do quociente (para funções u(x,y) e v(x,y) com v\neq0):
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}},
onde u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_x=\dfrac{\partial v}{\partial x}. Aqui y é tratado como constante ao calcular u_x e v_x.

Passo 4

Identificar u e v e calcular as derivadas parciais:
u(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad v(x,y)=y^{2}-x^{2}.
Derivando em relação a x (com y constante):
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
pois \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x e \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 (porque y é constante).
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}-x^{2})=-2x,
pois \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2})=-2x e \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente:
\frac{\partial w}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} =\frac{(2x)(y^{2}-x^{2}) - (x^{2}+y^{2})(-2x)}{(y^{2}-x^{2})^{2}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
(2x)(y^{2}-x^{2}) - (x^{2}+y^{2})(-2x) =2x(y^{2}-x^{2}) + 2x(x^{2}+y^{2})
fatorando 2x:
=2x\bigl((y^{2}-x^{2}) + (x^{2}+y^{2})\bigr) =2x(2y^{2}) =4x\,y^{2}.
Portanto
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x\,y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}},
válido quando y^{2}-x^{2}\neq0.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{4x\,y^{2}}{(y^{2}-x^{2})^{2}}

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