Calcule as derivadas parciais:
; onde
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial em relação a
da função
Informações dadas:
- A função é uma razão entre duas expressões em
e . - Devemos tratar
como constante ao derivar em relação a . - O domínio exige
(denominador não pode ser zero).
Passo 2
O que é derivada parcial
?
Significa: variar e manter
fixo; então derivar a expressão como se fosse uma função de
com coeficientes que podem depender de
. Formalmente, é o limite
Significa: variar
mas na prática usamos regras de derivação (soma, produto, quociente) considerando
constante.
Passo 3
Método escolhido: usar a regra do quociente.
Regra do quociente (para funções e
com
):
Regra do quociente (para funções
onde
e
. Aqui
é tratado como constante ao calcular
e
.
Passo 4
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais:
Derivando em relação a
(com
constante):
pois
e
(porque
é constante).
pois
e
.
Passo 5
Aplicar a regra do quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
fatorando
:
Portanto
válido quando
.