Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y, z)=y \ln (x z), f_{x}(x, y, z), f_{y}(x, y, z), f_{z}(x, y, z)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de \displaystyle f(x,y,z)=y\,\ln(xz).
Para cada derivada parcial, vamos tratar a variável correspondente como a única variável e as outras como constantes, aplicando a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Para calcular \,f_x(x,y,z), vemos que y é constante e
\frac{\partial}{\partial x}\ln(xz) =\frac{1}{xz}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xz) =\frac{1}{xz}\cdot z =\frac{1}{x}.
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f_x(x,y,z) =y\cdot\frac{1}{x} =\frac{y}{x}.

Passo 3

Para calcular \,f_y(x,y,z), tratamos \ln(xz) como constante, pois não depende de y. Assim
f_y(x,y,z) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cdot\ln(xz)\bigr) =\ln(xz).

Passo 4

Para calcular \,f_z(x,y,z), y é constante e
\frac{\partial}{\partial z}\ln(xz) =\frac{1}{xz}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xz) =\frac{1}{xz}\cdot x =\frac{1}{z}.
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f_z(x,y,z) =y\cdot\frac{1}{z} =\frac{y}{z}.

Resposta

\displaystyle f_x(x,y,z)=\frac{y}{x} \displaystyle f_y(x,y,z)=\ln(xz) \displaystyle f_z(x,y,z)=\frac{y}{z}

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