Seja f(x, y)=3 x^{3} y^{2}. Determine
(a) f_{x}(x, y)
(b) f_{y}(x, y)
(c) f_{x}(1, y)
(d) f_{x}(x, 1)
(e) f_{x}(1,2)
(f) f_{y}(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=3x^{3}y^{2} em relação a x e y e depois avaliar essas derivadas em certos pontos.Para isso vamos usar a regra de potência no cálculo de derivadas parciais, tratando a variável que não é diferenciada como constante.

Passo 2

Para obter a derivada parcial de f em relação a x, denotada por f_{x}(x,y), tratamos y como constante e aplicamos a regra de potência a x^{3}:
f_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr) =3y^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}) =3y^{2}\cdot3x^{2} =9x^{2}y^{2}.
Para obter a derivada parcial em relação a y, denotada por f_{y}(x,y), tratamos x como constante e aplicamos a regra de potência a y^{2}:
f_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}y^{2}\bigr) =3x^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}) =3x^{3}\cdot2y =6x^{3}y.

Passo 3

Agora avaliamo­s as deriva­das parciais em pontos gerais:
f_{x}(1,y)=9\cdot1^{2}\cdot y^{2}=9y^{2},
f_{x}(x,1)=9x^{2}\cdot1^{2}=9x^{2}.

Passo 4

Por fim, calculamos as derivadas em (1,2):
f_{x}(1,2)=9\cdot1^{2}\cdot2^{2}=9\cdot4=36,
f_{y}(1,2)=6\cdot1^{3}\cdot2=6\cdot2=12.

Resposta

(a) f_{x}(x,y)=9x^{2}y^{2}
(b) f_{y}(x,y)=6x^{3}y
(c) f_{x}(1,y)=9y^{2}
(d) f_{x}(x,1)=9x^{2}
(e) f_{x}(1,2)=36
(f) f_{y}(1,2)=12

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