8.2: Calcule as derivadas parciais indicadas:
f_{y y y} e f_{y x x} onde f(x, y)=x^{2} e^{-c y}

Passo 1

O enunciado dá f(x,y)=x^{2}e^{-c y} e pede as derivadas parciais f_{y y y} e f_{y x x}. Vamos usar a regra de derivação de exponencial \frac{\partial}{\partial y}e^{-c y}=-c\,e^{-c y} e a derivação polinomial em x.

Passo 2

Derivando sucessivamente em y:
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}e^{-c y}\bigr) =-c\,x^{2}e^{-c y}
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-c\,x^{2}e^{-c y}\bigr) =c^{2}x^{2}e^{-c y}
f_{yyy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(c^{2}x^{2}e^{-c y}\bigr) =-c^{3}x^{2}e^{-c y}

Passo 3

Derivando primeiro em x duas vezes e depois em y:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{-c y}\bigr) =2x\,e^{-c y}
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{-c y}\bigr) =2\,e^{-c y}
f_{yxx}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,e^{-c y}\bigr) =-2c\,e^{-c y}

Resposta

f_{yyy}=-c^{3}x^{2}e^{-c y} f_{yxx}=-2c\,e^{-c y}

Exercícios relacionados