8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
w=e^{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
w = e^{x^{2} + y^{2}}.
Para isso vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente em x e y conforme necessário, aplicando a regra da cadeia e, quando for o caso, a regra do produto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Seja u(x,y)=x^{2}+y^{2}, então w=e^{u}.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{du}{dx}\,e^{u} = (2x)\,e^{x^{2}+y^{2}},
\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{du}{dy}\,e^{u} = (2y)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Derivar \frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}} em relação a x para obter \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}.
Aqui usamos a regra do produto entre 2x e e^{x^{2}+y^{2}}:
\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} = \frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}} + 2x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2, \quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = (2x)\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Logo,
\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} = 2\,e^{x^{2}+y^{2}} + 2x \cdot \bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = \bigl(2 + 4x^{2}\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Derivar \frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}} em relação a y para obter \frac{\partial^{2}w}{\partial y\,\partial x}.
Só o e^{x^{2}+y^{2}} depende de y, então
\frac{\partial^{2}w}{\partial y\,\partial x} = 2x \cdot \frac{d}{dy}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = 2x \cdot (2y)\,e^{x^{2}+y^{2}} = 4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Derivar \frac{\partial w}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2}+y^{2}} em relação a y para obter \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}}.
Usando novamente a regra do produto:
\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} = \frac{d}{dy}\bigl(2y\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}} + 2y\,\frac{d}{dy}\bigl(e^{x^{2}+y^{2}}\bigr).
Temos \frac{d}{dy}(2y)=2 e \frac{d}{dy}(e^{x^{2}+y^{2}})=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}. Logo,
\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} = 2\,e^{x^{2}+y^{2}} + 2y\cdot(2y\,e^{x^{2}+y^{2}}) = \bigl(2 + 4y^{2}\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} = \bigl(4x^{2}+2\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial x\,\partial y} = 4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}, \quad \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} = \bigl(4y^{2}+2\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

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