8.1: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de segunda ordem da função
Para isso vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente em
e
conforme necessário, aplicando a regra da cadeia e, quando for o caso, a regra do produto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
Seja , então
.
Aplicando a cadeia:
Seja
Aplicando a cadeia:
Passo 3
Derivar
em relação a
para obter
.
Aqui usamos a regra do produto entre e
:
Aqui usamos a regra do produto entre
Calculando cada termo:
Logo,
Passo 4
Derivar
em relação a
para obter
.
Só o depende de
, então
Só o
Passo 5
Derivar
em relação a
para obter
.
Usando novamente a regra do produto:
Usando novamente a regra do produto:
Temos
e
. Logo,