8.2: Calcule as derivadas parciais indicadas:
f_{y y y} e f_{y x x} onde f(x, y)=x^{2} e^{-c y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}e^{-c y}
e pede as derivadas parciais de terceira ordem f_{yyy} e f_{yxx}. Vamos usar a regra de derivação de uma exponencial, que diz que
\frac{\partial}{\partial y}e^{-c y}=-c\,e^{-c y},
e a derivação polinomial em x.

Passo 2

Primeiro encontramos
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}e^{-c y}\bigr) =x^{2}\bigl(-c\,e^{-c y}\bigr) =-c\,x^{2}e^{-c y}
e em seguida
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-c\,x^{2}e^{-c y}\bigr) =-c\,x^{2}\bigl(-c\,e^{-c y}\bigr) =c^{2}x^{2}e^{-c y}.

Passo 3

Agora derivamos mais uma vez em relação a y para obter
f_{yyy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(c^{2}x^{2}e^{-c y}\bigr) =c^{2}x^{2}\bigl(-c\,e^{-c y}\bigr) =-c^{3}x^{2}e^{-c y}.

Passo 4

Para f_{yxx} começamos derivando em x:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}e^{-c y}\bigr) =2x\,e^{-c y},
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{-c y}\bigr) =2\,e^{-c y}.

Passo 5

Por fim derivamos f_{xx} em relação a y:
f_{yxx} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2\,e^{-c y}\bigr) =2\bigl(-c\,e^{-c y}\bigr) =-2c\,e^{-c y}.

Resposta

f_{yyy}(x,y)=-c^{3}x^{2}e^{-c y} f_{yxx}(x,y)=-2c\,e^{-c y}

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