Sabendo-se que \log _{8} 15= ce \log _{3} 15=d,
o valor de \log _{8} 5 em termos de ce d é
a) c(d-1) / d.
b) (d-1) /(c d).
c) c d /(d+1).
d) c /[d(d+1)].
e) c(d+1) / d.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\log_{8}15 = c e \log_{3}15 = d.
Pede-se o valor de \log_{8}5 expresso em função de c e d.
Observação útil já aqui: 15 = 3 \cdot 5 (vou usar isso depois).

Passo 2

Vamos traduzir os logaritmos para uma forma que facilita manipular soma e diferença: usar logaritmo natural \ln e a fórmula de mudança de base.
A fórmula de mudança de base é
\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}.
Aplicando-a às quantidades dadas temos
c = \frac{\ln 15}{\ln 8} \qquad\text{e}\qquad d = \frac{\ln 15}{\ln 3}.

Passo 3

Usamos a propriedade do logaritmo (ou do \ln) para produto:
\ln(15) = \ln(3\cdot 5) = \ln 3 + \ln 5.
Dessa igualdade isolamos \ln 5:
\ln 5 = \ln 15 - \ln 3.

Passo 4

Expressamos \ln 15 em função de c e \ln 8 usando c=\dfrac{\ln 15}{\ln 8}:
\ln 15 = c\,\ln 8.

Passo 5

Expressamos \ln 3 em função de d e \ln 15 usando d=\dfrac{\ln 15}{\ln 3}:
\ln 3 = \frac{\ln 15}{d}.
Substituindo \ln 15 = c\,\ln 8 obtemos
\ln 3 = \frac{c\,\ln 8}{d} = \frac{c}{d}\,\ln 8.

Passo 6

Agora substituímos \ln 15 e \ln 3 em \ln 5 = \ln 15 - \ln 3:
\ln 5 = c\,\ln 8 - \frac{c}{d}\,\ln 8 = c\,\ln 8\left(1 - \frac{1}{d}\right) = c\,\ln 8\cdot\frac{d-1}{d}.

Passo 7

Finalmente calculamos \log_{8}5 via mudança de base:
\log_{8}5 = \frac{\ln 5}{\ln 8} = \frac{c\,\ln 8\cdot\frac{d-1}{d}}{\ln 8} = c\cdot\frac{d-1}{d}.
Portanto o valor pedido é \dfrac{c(d-1)}{d}.

Resposta

(a) \dfrac{c(d-1)}{d}

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