Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função dada por
em
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
no ponto
. A função dada é
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função
está definida por essa expressão para tal que . - O ponto onde queremos as parciais é
. - Devemos fornecer
e .
Passo 2
Definição (útil aqui): a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite
e, análogamente, a derivada parcial em relação a
é
Explicação curta e didática: isso significa que, para calcular a parcial em
, variamos só a coordenada
(fazendo
) e mantemos
fixo; o quociente de diferenças mede a taxa de variação em direção ao eixo
. Usamos essa definição porque, no ponto
, ela costuma ser a maneira mais direta e segura de encontrar as parciais sem precisar derivar a expressão geral (que envolveria quociente e regra da cadeia).
Passo 3
Primeiro encontramos o valor da função em
(vamos precisar disso na definição):
Então
. Observação: o denominador em
vale
, logo a expressão da função está bem definida em
.
Passo 4
Calculando
pela definição:
Para
temos, para qualquer
,
Portanto o numerador da diferença é
. Assim, para todo
,
O limite quando
dessa expressão é
. Logo
Passo 5
Agora calculamos
pela definição:
Para
temos, para qualquer
,
Logo o numerador é
e para
o quociente vale
. Portanto o limite quando
é
, e
Passo 6
Comentário final e incentivo: ambas as derivadas parciais deram
. O raciocínio foi simples porque, ao manter uma coordenada zero, o argumento do seno ficou
e a função valeu
ao longo desses eixos; por isso as diferenças no numerador desapareceram. Na prova, quando o ponto faz com que parte da expressão fique identicamente zero ao longo do eixo, sempre pense em usar a definição de derivada parcial — costuma ser a forma mais direta. Você tá indo bem — respira e segue praticando!