Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função dada por f(x, y)=\frac{\operatorname{sen}(x y)}{x^{2}+y^{2}-25} em (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f no ponto (0,0). A função dada é
f(x,y)=\frac{\operatorname{sen}(x y)}{x^{2}+y^{2}-25}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função f está definida por essa expressão para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}-25\neq 0.
  • O ponto onde queremos as parciais é (0,0).
  • Devemos fornecer \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).

Passo 2

Definição (útil aqui): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},
e, análogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.
Explicação curta e didática: isso significa que, para calcular a parcial em x, variamos só a coordenada x (fazendo x=a+h) e mantemos y=b fixo; o quociente de diferenças mede a taxa de variação em direção ao eixo x. Usamos essa definição porque, no ponto (0,0), ela costuma ser a maneira mais direta e segura de encontrar as parciais sem precisar derivar a expressão geral (que envolveria quociente e regra da cadeia).

Passo 3

Primeiro encontramos o valor da função em (0,0) (vamos precisar disso na definição):
f(0,0)=\frac{\operatorname{sen}(0\cdot 0)}{0^{2}+0^{2}-25}=\frac{\operatorname{sen}(0)}{-25}=\frac{0}{-25}=0.
Então f(0,0)=0. Observação: o denominador em (0,0) vale -25\neq 0, logo a expressão da função está bem definida em (0,0).

Passo 4

Calculando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para y=0 temos, para qualquer h,
f(h,0)=\frac{\operatorname{sen}(h\cdot 0)}{h^{2}+0^{2}-25}=\frac{\operatorname{sen}(0)}{h^{2}-25}=\frac{0}{h^{2}-25}=0.
Portanto o numerador da diferença é f(h,0)-f(0,0)=0-0=0. Assim, para todo h\neq 0,
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0}{h}=0.
O limite quando h\to 0 dessa expressão é 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.

Passo 5

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Para x=0 temos, para qualquer h,
f(0,h)=\frac{\operatorname{sen}(0\cdot h)}{0^{2}+h^{2}-25}=\frac{\operatorname{sen}(0)}{h^{2}-25}=\frac{0}{h^{2}-25}=0.
Logo o numerador é 0-0=0 e para h\neq 0 o quociente vale 0. Portanto o limite quando h\to 0 é 0, e
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 6

Comentário final e incentivo: ambas as derivadas parciais deram 0. O raciocínio foi simples porque, ao manter uma coordenada zero, o argumento do seno ficou 0 e a função valeu 0 ao longo desses eixos; por isso as diferenças no numerador desapareceram. Na prova, quando o ponto faz com que parte da expressão fique identicamente zero ao longo do eixo, sempre pense em usar a definição de derivada parcial — costuma ser a forma mais direta. Você tá indo bem — respira e segue praticando!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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