Sabe-se que
é solução de um problema com condição inicial
Resolva o mesmo problema, com
e condição inicial
Passo 1
O enunciado nos dá a família de funções
que é solução de um problema cuja condição inicial é
Em seguida o enunciado pede para resolver o “mesmo problema” com os parâmetros
e
e com condição inicial
Informações relevantes dadas:
- Fórmula geral da solução para o modo
. - Valores pedidos:
e . - A condição inicial é uma combinação linear de três termos:
, e .
O objetivo é encontrarque, com e , atenda a essa condição inicial.
Passo 2
Idea-chave que vamos usar (explicada de forma didática): se uma equação tem evolução linear (como é o caso implícito aqui), então a combinação linear de soluções é solução cuja condição inicial é a combinação linear das condições iniciais correspondentes. Ou seja, se
é solução com
, então para constantes
a função
é solução com condição inicial
. É por isso que dá para tratar cada termo da condição inicial separadamente e depois somar as soluções correspondentes.
Passo 3
Vamos identificar quais valores de
correspondem aos cossenos na condição inicial, usando
.
Para o termo
queremos
. Com
isso exige
Passo 4
Para o termo
queremos
Passo 5
Para o termo constante
note que
, ou seja o modo com
é a constante. Portanto o termo
corresponde a
com coeficiente
.
Resumo da identificação:
-
corresponde a vezes o modo com . -
corresponde a vezes o modo com . -
corresponde a vezes o modo com .
Passo 6
Agora substituímos
e
na fórmula geral do modo. A exponencial de decaimento fica
Calculamos para cada
:
- Para
: - Para
: - Para
: (logo a constante não decai).
Pelo princípio da superposição (Passo 2), a solução correspondente à condição inicial dada é a soma das soluções dos três modos multiplicadas pelos seus coeficientes.
Passo 7
Montando a soma com os coeficientes dados
obtemos
Verificação rápida e útil para a prova: em
os expoentes viram 1, então
que é exatamente a condição inicial pedida.