Sabe-se que u(x, t)=e^{-n^{2} \pi^{2} \alpha^{2} t / L^{2}} \cos (n \pi x / L), n=0,1,2, \cdots é solução de um problema com condição inicial
u(x, 0)=\cos (n \pi x / L)
Resolva o mesmo problema, com \alpha=1, L=3 e condição inicial
u(x, 0)=3 \cos (\pi x)-7 \cos (\pi x / 3)-3

Passo 1

O enunciado nos dá a família de funções
u(x,t)=e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\quad n=0,1,2,\dots
que é solução de um problema cuja condição inicial é
u(x,0)=\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Em seguida o enunciado pede para resolver o “mesmo problema” com os parâmetros \alpha=1 e L=3 e com condição inicial
u(x,0)=3\cos(\pi x)-7\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right)-3.
Informações relevantes dadas:
  • Fórmula geral da solução para o modo \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Valores pedidos: \alpha=1 e L=3.
  • A condição inicial é uma combinação linear de três termos: 3\cos(\pi x), -7\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right) e -3.
    O objetivo é encontrar u(x,t) que, com \alpha=1 e L=3, atenda a essa condição inicial.

Passo 2

Idea-chave que vamos usar (explicada de forma didática): se uma equação tem evolução linear (como é o caso implícito aqui), então a combinação linear de soluções é solução cuja condição inicial é a combinação linear das condições iniciais correspondentes. Ou seja, se
u^{(n)}(x,t)=e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
é solução com u^{(n)}(x,0)=\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), então para constantes a_n a função
\sum_n a_n u^{(n)}(x,t)
é solução com condição inicial \sum_n a_n \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right). É por isso que dá para tratar cada termo da condição inicial separadamente e depois somar as soluções correspondentes.

Passo 3

Vamos identificar quais valores de n correspondem aos cossenos na condição inicial, usando L=3.
Para o termo \cos(\pi x) queremos \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=\cos(\pi x). Com L=3 isso exige
\frac{n\pi x}{3}=\pi x \quad\Rightarrow\quad \frac{n}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad n=3.

Passo 4

Para o termo \cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right) queremos
\frac{n\pi x}{3}=\frac{\pi x}{3} \quad\Rightarrow\quad n=1.

Passo 5

Para o termo constante -3 note que \cos(0)=1, ou seja o modo com n=0 é a constante. Portanto o termo -3 corresponde a n=0 com coeficiente -3.
Resumo da identificação:
  • 3\cos(\pi x) corresponde a 3 vezes o modo com n=3.
  • -7\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right) corresponde a -7 vezes o modo com n=1.
  • -3 corresponde a -3 vezes o modo com n=0.

Passo 6

Agora substituímos \alpha=1 e L=3 na fórmula geral do modo. A exponencial de decaimento fica
e^{-n^{2}\pi^{2}\alpha^{2}t/L^{2}}=e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}.
Calculamos para cada n:
  • Para n=3: e^{-n^{2}\pi^{2}t/9}=e^{-9\pi^{2}t/9}=e^{-\pi^{2}t}.
  • Para n=1: e^{-1\cdot\pi^{2}t/9}=e^{-\pi^{2}t/9}.
  • Para n=0: e^{0}=1 (logo a constante não decai).
Pelo princípio da superposição (Passo 2), a solução correspondente à condição inicial dada é a soma das soluções dos três modos multiplicadas pelos seus coeficientes.

Passo 7

Montando a soma com os coeficientes dados 3,\,-7,\,-3 obtemos
u(x,t)=3\,e^{-\pi^{2}t}\cos(\pi x)\;-\;7\,e^{-\pi^{2}t/9}\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right)\;-\;3.
Verificação rápida e útil para a prova: em t=0 os expoentes viram 1, então
u(x,0)=3\cos(\pi x)-7\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right)-3,
que é exatamente a condição inicial pedida.

Resposta

u(x,t)=3e^{-\pi^{2}t}\cos(\pi x)-7e^{-\pi^{2}t/9}\cos\!\left(\frac{\pi x}{3}\right)-3

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