Resolva los GUASS- JACOB; COM \varepsilon=0.1 e x^{(0)}=(1,-2,3)
\begin{aligned} 10 x_{1} & +2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1} & +5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1} & +3 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Jacobi (Jacobi) ao sistema
\begin{aligned} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}&=7,\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+x_{3}&=-8,\\[4pt] 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}&=6, \end{aligned}
usando tolerância \varepsilon=0{,}1 e vetor inicial \,x^{(0)}=(1,-2,3).
As informações relevantes são:
\;x^{(0)}=(1,-2,3),\;\varepsilon=0{,}1.
Vamos aplicar iterações de Jacobi até que a norma infinita da diferença entre iterações consecutivas satisfaça
\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.]

Passo 2

O que é o método de Jacobi e como obter a fórmula iterativa (aulinha rápida):
Dado o sistema A x=b com A não singular, o método de Jacobi isola cada componente x_{i} usando apenas os valores da iteração anterior. Para o nosso sistema escrevemos cada equação isolando o termo diagonal:
\begin{aligned} x_{1}&=\frac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}-x_{3}\bigr),\\[4pt] x_{2}&=\frac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}-x_{3}\bigr),\\[4pt] x_{3}&=\frac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}-3x_{2}\bigr). \end{aligned}
A regra de iteração de Jacobi é: para k=0,1,2,\dots,
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{2}^{(k+1)}&=\frac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_{3}^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}^{(k)}-3x_{2}^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Observação importante sobre convergência: se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas, Jacobi converge. Neste sistema a diagonal tem módulos 10,5,10 e as somas dos outros coeficientes em cada linha são 3,2,5 respectivamente; como 10>3,\;5>2,\;10>5 temos dominância estrita e, portanto, convergência garantida.]

Passo 3

Começamos com x^{(0)}=(1,-2,3) e aplicamos a fórmula para obter x^{(1)}.
Cálculos (cada fórmula em display para ficar claro):
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-2)-3\bigr)=\frac{1}{10}(7+4-3)=\frac{8}{10}=0{,}8.
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1-3\bigr)=\frac{-12}{5}=-2{,}4.
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1-3(-2)\bigr)=\frac{1}{10}(6-2+6)=\frac{10}{10}=1{,}0.
Portanto,
x^{(1)}=(0{,}8,\,-2{,}4,\,1{,}0).
Agora a diferença infinita:
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_{\infty}=\max\bigl(|0{,}8-1|,\;|-2{,}4-(-2)|,\;|1{,}0-3|\bigr)=\max(0{,}2,0{,}4,2)=2>0{,}1,
ainda não satisfaz a tolerância, então continuamos.

Passo 4

Calcule x^{(2)} usando x^{(1)}.
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-2{,}4)-1{,}0\bigr)=\frac{1}{10}(7+4{,}8-1)=\frac{10{,}8}{10}=1{,}08.
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-0{,}8-1{,}0\bigr)=\frac{-9{,}8}{5}=-1{,}96.
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0{,}8-3(-2{,}4)\bigr)=\frac{1}{10}(6-1{,}6+7{,}2)=\frac{11{,}6}{10}=1{,}16.
Logo
x^{(2)}=(1{,}08,\,-1{,}96,\,1{,}16).
Diferença:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\bigl(|1{,}08-0{,}8|,\;|-1{,}96-(-2{,}4)|,\;|1{,}16-1{,}0|\bigr)=\max(0{,}28,0{,}44,0{,}16)=0{,}44>0{,}1.
Ainda não satisfaz, continuamos.

Passo 5

Calcule x^{(3)} usando x^{(2)}.
x_{1}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-1{,}96)-1{,}16\bigr)=\frac{1}{10}(7+3{,}92-1{,}16)=\frac{9{,}76}{10}=0{,}976.
x_{2}^{(3)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-1{,}08-1{,}16\bigr)=\frac{-10{,}24}{5}=-2{,}048.
x_{3}^{(3)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot1{,}08-3(-1{,}96)\bigr)=\frac{1}{10}(6-2{,}16+5{,}88)=\frac{9{,}72}{10}=0{,}972.
Assim
x^{(3)}=(0{,}976,\,-2{,}048,\,0{,}972).
Diferença:
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\bigl(|0{,}976-1{,}08|,\;|-2{,}048-(-1{,}96)|,\;|0{,}972-1{,}16|\bigr)=\max(0{,}104,0{,}088,0{,}188)=0{,}188>0{,}1.
Ainda maior que \varepsilon, continuamos.

Passo 6

Calcule x^{(4)} usando x^{(3)}.
x_{1}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2(-2{,}048)-0{,}972\bigr)=\frac{1}{10}(7+4{,}096-0{,}972)=\frac{10{,}124}{10}=1{,}0124.
x_{2}^{(4)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-0{,}976-0{,}972\bigr)=\frac{-9{,}948}{5}=-1{,}9896.
x_{3}^{(4)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2\cdot0{,}976-3(-2{,}048)\bigr)=\frac{1}{10}(6-1{,}952+6{,}144)=\frac{10{,}192}{10}=1{,}0192.
Portanto
x^{(4)}=(1{,}0124,\,-1{,}9896,\,1{,}0192).
Agora a diferença:
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_{\infty}=\max\bigl(|1{,}0124-0{,}976|,\;|-1{,}9896-(-2{,}048)|,\;|1{,}0192-0{,}972|\bigr)=\max(0{,}0364,0{,}0584,0{,}0472)=0{,}0584.
Como 0{,}0584<0{,}1, a condição de parada \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon é satisfeita e paramos.

Resposta

x^{(4)}\approx(1{,}0124,\,-1{,}9896,\,1{,}0192)

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