Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=x^{5}+3 x^{3} y^{2}+3 x y^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^{5}+3x^{3}y^{2}+3x\,y^{4}.
O conteúdo aqui é derivada parcial de funções de duas variáveis, e vamos usar a regra da potência e o princípio de que, ao derivar em relação a x, tratamos y como constante, e vice-versa para derivar em relação a y.

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Derivando termo a termo em relação a x, com y constante:
\displaystyle x^{5} vira 5x^{4} pela regra da potência.
\displaystyle 3x^{3}y^{2}: 3y^{2} é constante, então gera 3y^{2}\cdot 3x^{2}=9x^{2}y^{2}.
\displaystyle 3x\,y^{4}: y^{4} é constante, então gera 3y^{4}.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial x} =5x^{4}+9x^{2}y^{2}+3y^{4}.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}. Derivando em relação a y, com x constante:
\displaystyle x^{5} não depende de y, logo contribui com 0.
\displaystyle 3x^{3}y^{2}: 3x^{3} é constante, então gera 3x^{3}\cdot 2y=6x^{3}y.
\displaystyle 3x\,y^{4}: 3x é constante, então gera 3x\cdot 4y^{3}=12x\,y^{3}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} =6x^{3}y+12x\,y^{3}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =5x^{4}+9x^{2}y^{2}+3y^{4}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =6x^{3}y+12x\,y^{3}.

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