Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
w=\operatorname{sen}\left(\ln \left(x y z^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
w = \sin\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr).
O conteúdo envolvido é derivação de função composta (regra da cadeia), derivada de \sin, de \ln e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Definimos o interior da função composta como
u = \ln(x y z^{2}),
de modo que
w = \sin(u).
Isso separa em duas etapas de diferenciação.

Passo 3

Pela regra da cadeia, para cada variável v\in\{x,y,z\} temos
\frac{\partial w}{\partial v} = \cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial v}.

Passo 4

Usamos a propriedade
u = \ln(x) + \ln(y) + 2\,\ln(z)
para obter
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x},\quad \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{y},\quad \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{2}{z}.

Passo 5

Substituindo em cada expressão de \partial w/\partial v:
\frac{\partial w}{\partial x} = \cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)\,\frac{1}{x},\quad \frac{\partial w}{\partial y} = \cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)\,\frac{1}{y},\quad \frac{\partial w}{\partial z} = \cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)\,\frac{2}{z}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)}{x}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)}{y}, \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{2\,\cos\bigl(\ln(x y z^{2})\bigr)}{z}.

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