Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y, z, w)=x y z^{2} \tan (y w)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z,w)=x\,y\,z^{2}\,\tan(yw).
O conteúdo aqui envolve:
– tratar cada variável de interesse como variável, mantendo as outras constantes;
– usar a regra do produto quando a função for produto de fatores;
– usar a regra da cadeia para derivar \tan(u), sabendo que
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u).

Passo 2

Para \frac{\partial f}{\partial x} vemos que y, z e w são constantes, e
f(x,y,z,w)=x\cdot\bigl(y\,z^{2}\tan(yw)\bigr).
Aplicando \frac{d}{dx}(x\cdot A)=A, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=y\,z^{2}\tan(yw).

Passo 3

Para \frac{\partial f}{\partial y} note que
f=x\,z^{2}\cdot\bigl[y\;\tan(yw)\bigr].
Aqui x e z são constantes e usamos produto entre y e \tan(yw):
\frac{d}{dy}\bigl[y\;\tan(yw)\bigr] =\tan(yw)+y\cdot\frac{d}{dy}\tan(yw).
Pela cadeia, \frac{d}{dy}\tan(yw)=\operatorname{sec}^{2}(yw)\cdot w. Logo
\frac{\partial f}{\partial y} =x\,z^{2}\Bigl[\tan(yw)+y\,w\,\operatorname{sec}^{2}(yw)\Bigr].

Passo 4

Para \frac{\partial f}{\partial z}, x, y, w são constantes e
f=\bigl(x\,y\,\tan(yw)\bigr)\;z^{2},
então
\frac{\partial f}{\partial z} =2z\;\bigl(x\,y\,\tan(yw)\bigr) =2x\,y\,z\,\tan(yw).

Passo 5

Para \frac{\partial f}{\partial w}, x, y, z são constantes e
f=x\,y\,z^{2}\;\tan(yw).
Aplicando a cadeia em \tan(yw):
\frac{d}{dw}\tan(yw) =\operatorname{sec}^{2}(yw)\cdot\frac{d}{dw}(yw) =\operatorname{sec}^{2}(yw)\;y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial w} =x\,y\,z^{2}\;y\;\operatorname{sec}^{2}(yw) =x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(yw).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y\,z^{2}\tan(yw) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x\,z^{2}\bigl[\tan(yw)+y\,w\,\operatorname{sec}^{2}(yw)\bigr] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=2x\,y\,z\,\tan(yw) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}=x\,y^{2}\,z^{2}\,\operatorname{sec}^{2}(yw)

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