Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y, z, w)=\frac{x y^{2}}{w+2 z}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z,w)=\frac{x\,y^{2}}{w+2z}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x, y, z e w. O conteúdo é derivada parcial, e vamos usar a regra do quociente ou, equivalentemente, escrever
f(x,y,z,w)=x\,y^{2}\,(w+2z)^{-1}
e aplicar as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, tratamos y, z e w como constantes. Assim, f é produto de x por y^{2}(w+2z)^{-1}, logo
\frac{\partial f}{\partial x} =y^{2}\,(w+2z)^{-1} =\frac{y^{2}}{w+2z}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, tratamos x, z e w como constantes. Vemos f=x\cdot y^{2}\cdot (w+2z)^{-1}, então a derivada em y é
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot 2y\cdot (w+2z)^{-1} =\frac{2\,x\,y}{w+2z}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}, usamos a forma f=x\,y^{2}\,(w+2z)^{-1}. Aplicando regra da cadeia ao fator (w+2z)^{-1}, temos
\frac{\partial f}{\partial z} =x\,y^{2}\cdot(-1)\,(w+2z)^{-2}\cdot 2 =-\frac{2\,x\,y^{2}}{(w+2z)^{2}}.

Passo 5

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}, de modo semelhante, diferenciando (w+2z)^{-1} em relação a w, obtemos
\frac{\partial f}{\partial w} =x\,y^{2}\cdot(-1)\,(w+2z)^{-2}\cdot 1 =-\frac{x\,y^{2}}{(w+2z)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y^{2}}{w+2z}
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2\,x\,y}{w+2z}
\frac{\partial f}{\partial z}=-\frac{2\,x\,y^{2}}{(w+2z)^{2}}
\frac{\partial f}{\partial w}=-\frac{x\,y^{2}}{(w+2z)^{2}}

Exercícios relacionados