Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y, z)=x^{y / z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z) = x^{y/z}
em relação a x, y e z. Vamos usar a técnica de reescrever a função como uma exponencial e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevemos
f(x,y,z) = e^{\ln\bigl(x^{y/z}\bigr)} = e^{\frac{y}{z}\,\ln(x)}.
Definimos o expoente
g(x,y,z) = \frac{y}{z}\,\ln(x),
de modo que f = e^{g}. Assim, para qualquer variável u,
\frac{\partial f}{\partial u} = e^{g}\,\frac{\partial g}{\partial u} = x^{y/z}\,\frac{\partial g}{\partial u}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Temos
g(x,y,z) = \frac{y}{z}\,\ln(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial x} = \frac{y}{z}\,\frac{1}{x}.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = x^{y/z}\,\frac{y}{z}\,\frac{1}{x} = \frac{y}{z\,x}\;x^{y/z}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
Para \partial g/\partial y e \partial g/\partial z obtemos:
\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{1}{z}\,\ln(x), \qquad \frac{\partial g}{\partial z} = -\frac{y}{z^{2}}\,\ln(x).
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y} = x^{y/z}\,\frac{1}{z}\,\ln(x), \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = x^{y/z}\,\Bigl(-\frac{y}{z^{2}}\,\ln(x)\Bigr) = -\frac{y\,\ln(x)}{z^{2}}\;x^{y/z}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y}{z\,x}\;x^{y/z}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\ln(x)}{z}\;x^{y/z}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = -\frac{y\,\ln(x)}{z^{2}}\;x^{y/z}.

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