Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y, z)=z e^{x y z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=z\,e^{\,x y z}
Isso envolve aplicar a regra do produto e a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes. Escrevendo
f(x,y,z)=z\cdot e^{x y z},
temos
\frac{\partial f}{\partial x} = z \cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y z}\bigr) = z\cdot e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y z) = z\,e^{x y z}\,(y z).

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes. Usando análise análoga,
\frac{\partial f}{\partial y} = z\cdot e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y z) = z\,e^{x y z}\,(x z).

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} aplicamos a regra do produto em z\cdot e^{x y z}. Assim,
\frac{\partial f}{\partial z} = 1\cdot e^{x y z} + z\cdot e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x y z) = e^{x y z} + z\,e^{x y z}\,(x y).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=y\,z^{2}\,e^{x y z}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=x\,z^{2}\,e^{x y z}, \quad \frac{\partial f}{\partial z}=e^{x y z} \bigl(1 + x y z\bigr).

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