Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=\arctan (x \sqrt{y})

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\arctan\bigl(x\sqrt{y}\bigr).
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, lembrando que, para u=u(x,y),
\frac{\partial}{\partial x}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}\arctan(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Defina u(x,y)=x\sqrt{y}. Primeiro calculamos
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sqrt{y}\bigr) =\sqrt{y}.
Aplicando a regra da cadeia para \partial f/\partial x, temos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+(x\sqrt{y})^{2}}\;\sqrt{y} =\frac{\sqrt{y}}{1+x^{2}y}.

Passo 3

Agora calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sqrt{y}\bigr) =x\cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} =\frac{x}{2\sqrt{y}}.
Pela regra da cadeia para \partial f/\partial y,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{1}{1+(x\sqrt{y})^{2}}\;\frac{x}{2\sqrt{y}} =\frac{x}{2\sqrt{y}\,\bigl(1+x^{2}y\bigr)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\sqrt{y}}{1+x^{2}y}. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{2\sqrt{y}\,\bigl(1+x^{2}y\bigr)}.

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