Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
f(x, y)=\ln \left(1+\cos ^{2}\left(x y^{3}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\ln\!\big(1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)\big).
Ou seja, precisamos encontrar explicitamente
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
e
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Informações dadas: a expressão da função em termos de x e y. Não há restrições extras (assumimos x,y\in\mathbb{R}). Pronto: agora vamos calcular passo a passo.

Passo 2

O que é derivada parcial na prática (explicação curta e direta)? Quando calculamos \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Quando calculamos \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante e derivamos em relação a y. Um exemplo rápido para fixar a ideia: se g(x,y)=x^2y, então \frac{\partial g}{\partial x}=2x y (porque y é constante) e \frac{\partial g}{\partial y}=x^2 (porque x é constante).

Passo 3

Estratégia: usar a regra da cadeia várias vezes, porque nossa função é uma composição de camadas:
definimos
A(x,y)=xy^{3},
B(A)=\cos(A),
C(B)=B^{2}=\cos^{2}(A),
f\text{(C)}=\ln(1+C).
A regra da cadeia diz que a derivada da composição é o produto das derivadas das camadas: por exemplo,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{df}{dC}\cdot\frac{dC}{dB}\cdot\frac{dB}{dA}\cdot\frac{\partial A}{\partial x}.
Agora vou explicar cada derivada elemental que precisamos:
  • Derivada de \ln(u) em relação a u é \dfrac{1}{u}.
  • Derivada de u^{2} em relação a u é 2u.
  • Derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
  • Derivada de A(x,y)=xy^{3} em relação a x (tratando y como constante) é y^{3}.
  • Derivada de A(x,y)=xy^{3} em relação a y (tratando x como constante) é 3x y^{2}.

Passo 4

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial x} aplicando a cadeia com as derivadas acima:
primeiro a derivada externa \ln(1+C) em relação a C é \dfrac{1}{1+C}. Em seguida C=\cos^{2}(A), então \dfrac{dC}{dB}=2B=2\cos(A). Depois \dfrac{dB}{dA}=\dfrac{d}{dA}\cos(A)=-\sin(A). Finalmente \dfrac{\partial A}{\partial x}=y^{3}. Juntando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{1+\cos^{2}(A)}\cdot 2\cos(A)\cdot\big(-\sin(A)\big)\cdot y^{3}.

Passo 5

Substituímos A=xy^{3} e simplificamos sinais e fatores:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\frac{2\,y^{3}\cos\!\big(xy^{3}\big)\sin\!\big(xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}.
Observação opcional (útil na prova): usando a identidade \sin(2t)=2\sin t\cos t podemos reescrever o numerador como -y^{3}\sin\!\big(2xy^{3}\big), ou seja
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = -\frac{y^{3}\sin\!\big(2xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}.
Ambas as formas estão corretas; escolha a que você achar mais clara na prova.

Passo 6

Agora calculamos \frac{\partial f}{\partial y}. Repetimos a mesma cadeia, mas trocando \dfrac{\partial A}{\partial x} pela \dfrac{\partial A}{\partial y}. Já sabemos das camadas externas que tudo até \dfrac{dB}{dA} é igual ao passo anterior, então:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{1+\cos^{2}(A)}\cdot 2\cos(A)\cdot\big(-\sin(A)\big)\cdot\frac{\partial A}{\partial y}.
E \dfrac{\partial A}{\partial y}=3x y^{2}. Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{2\cdot 3x y^{2}\cos\!\big(xy^{3}\big)\sin\!\big(xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}.

Passo 7

Simplificando o fator 2\cdot 3 ficamos com:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{6x y^{2}\cos\!\big(xy^{3}\big)\sin\!\big(xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}.
Novamente, usando \sin(2t)=2\sin t\cos t podemos reescrever o resultado como
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\frac{3x y^{2}\sin\!\big(2xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{2\,y^{3}\cos\!\big(xy^{3}\big)\sin\!\big(xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{6x y^{2}\cos\!\big(xy^{3}\big)\sin\!\big(xy^{3}\big)}{1+\cos^{2}\!\big(xy^{3}\big)}

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