Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
Ou seja, precisamos encontrar explicitamente
e
Informações dadas: a expressão da função em termos de
e
. Não há restrições extras (assumimos
). Pronto: agora vamos calcular passo a passo.
Passo 2
O que é derivada parcial na prática (explicação curta e direta)? Quando calculamos
tratamos
como constante e derivamos em relação a
. Quando calculamos
tratamos
como constante e derivamos em relação a
. Um exemplo rápido para fixar a ideia: se
, então
(porque
é constante) e
(porque
é constante).
Passo 3
Estratégia: usar a regra da cadeia várias vezes, porque nossa função é uma composição de camadas:
definimos
definimos
A regra da cadeia diz que a derivada da composição é o produto das derivadas das camadas: por exemplo,
Agora vou explicar cada derivada elemental que precisamos:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a (tratando como constante) é . - Derivada de
em relação a (tratando como constante) é .
Passo 4
Agora calculamos
aplicando a cadeia com as derivadas acima:
primeiro a derivada externa em relação a
é
. Em seguida
, então
. Depois
. Finalmente
. Juntando tudo:
primeiro a derivada externa
Passo 5
Substituímos
e simplificamos sinais e fatores:
Observação opcional (útil na prova): usando a identidade
podemos reescrever o numerador como
, ou seja
Ambas as formas estão corretas; escolha a que você achar mais clara na prova.
Passo 6
Agora calculamos
. Repetimos a mesma cadeia, mas trocando
pela
. Já sabemos das camadas externas que tudo até
é igual ao passo anterior, então:
E
. Substituindo:
Passo 7
Simplificando o fator
ficamos com:
Novamente, usando
podemos reescrever o resultado como